数学動画教材1206_01「テーマ:式の値が正確に計算できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1206_01_式の値が正確に計算できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1206_01_式の値が正確に計算できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 式の値のポイント ◆

式の値のポイントは2つ。

① ×÷を復活した式を思い浮かべることができる。

② 代入したときにカッコが必要かどうか判断できる。

です。

このことを意識して学べば、OKです。

あとは、今まで学んだことを思い出すだけです。

計算力が身についている人にとっては、きっと簡単に感じると思います。

そうでない人は、復習するよいチャンスだと思って頑張りましょう。

これからは、たくさん式の値を求めることになります。

当たり前に、スラスラと求められるようになりましょう。

今回は、以上です。

※ 最短ブログになりました (^_^;)

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数学動画教材1205_01「テーマ:同類項の加法計算が正確に計算できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1205_01_同類項の加法計算が正確に計算できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1205_01_同類項の加法計算が正確に計算できる_同類項の加法計算_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 数学の基礎となる同類項 ◆

今回のテーマでは、前回のテーマを軽く整理したうえで、同類項の加法計算を練習しながらポイントを整理する形式で説明を進めています。

なぜそのような説明の仕方なのかといえば、「計算できることが一番大切なこと」だからです。

同類項の加法計算は、中学、高校、大学で学ぶ計算の基本中の基本なのです。どんなところにも必ず顔を出す超有名人なのです。

そもそも、同類項の加法計算は「項を並べた式」で表している計算ですから、ただ単にたし算(加法)だということを忘れないことが大切です。そのことを理解しやすいように、「何個たりない、何個ある、あわせて何個ある」などのような考え方で説明しながら、同類項の加法計算の練習を兼ねたのです。

5分以内で1つのテーマを完結させるためには、このような説明がよいと判断したということですね・・・

◆ 補足~係数 ◆

今回は特に説明することはないのですが、補足が1つあります。

それは、「係数」という用語についてです。

(6)は文字の前についている数字が分数となっている問題ですが、その説明の中に「係数を、通分してまとめる」と書いてあります。

実は、係数という用語はあとで説明するつもりだったのですが、ここでついうっかり使ってしまいました m(_ _)m

本当は、「1207_01_式の名前のつけ方が理解できる_次数と元」で始めて使う予定だったのですが・・・

まぁ、疑問なことは各自で調べることも大切ということで、今回は「ごめんね」という告知だけで許してください。

今回は、以上です。

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数学動画教材1204_01「テーマ:a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1204_01_a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1204_01_a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ わからなくなる理由 ◆

今回の動画教材における内容は、2πr(にーぱいあーる)が中学校数学教師時代に経験したことがもとになっています。

この経験を動画教材に取り入れたのは、このテーマのような課題を示して班で話しあわせたらホワイトボードに書かれていた班の意見の大半がブログに載せたような予想を超えたものだったので、自分の教え方を振り返るよいきっかけになったことを覚えていたからです。

いろいろなご意見もあるとは思いますが、「こんな考えで間違えることもあるんだ」程度に受け取ってもらえれば幸いです。

大切なことは、基本をしっかり身につけていないと思わぬ勘違いをするということです。その勘違いがさらに別な勘違いや、「わからない」という気持ちを生むといういうことです。そして、間違え方を理解することが学びに役立つということです。

当たり前のことのようですが、勘違いがいつどこで発生するのか、一番大きな影響を与える勘違いはいつ起きるのかという議論はそれほどなされていないように思います。

まぁ、議論していたとしてもよい方法はなかなか見つからないと思いますが・・・ (^_^;)

2πr(にーぱいあーる)は、最も影響のある勘違いがこのテーマで起きていると考えています。そして、小学校で学んだ内容や、正の数・負の数で学んだ内容をあいまいなままにしている人たちが授業内容が進んでいくときにちょうどこのあたりで自信や興味を失っていくのではないかと考えています。

つまり、2つの要素がこのあたりで重なることが「中学校数学がわからなくなる最も大きい理由」ではないかと考えています。

みなさんは、どう思いますか?

※ この件に関するご意見はこのブログのコメント欄にお願いします。

◆ やっぱり基本が大切 ◆

みなさんは、これまで学習してきた内容のうち何割身についたと思いますか?

5割?、6割?、7割?、8割?、9割?、それとも完璧?

2πr(にーぱいあーる)は、8割以上身につけていないとだんだんわからなくなってくる危険性が高いと感じています。

5割未満の人は5割を、5割の人は6割を、6割の人は7割を、7割の人は8割を、8割の人は9割を、9割の人は完璧を目指してください。

学んだその日の基本をその日のうちに理解して、できるだけ早くその内容をすぐ思い出せるようになる努力をするような積み重ねが大切です。

いろいろなことを話してきましたが、やっぱり基本が大切なのです。

◆ 基本と基礎の違い ◆

ところで、2πr(にーぱいあーる)は、基本と基礎の違いを次のように考えています。

基本問題とはいいますが、基礎問題というと何か違和感があります。

つまり、その問題を理解すればいろいろな問題を解く参考になるものを基本問題というのではないでしょうか。(動画教材では「例」や「例題」といっていますが・・・)

それに対して、いろいろな基本問題を理解して使えるようになると「基礎ができた」というような使い方をするように思うのです。そして、それとは別に用語などは基礎と呼ぶのかなと・・・

つまり、学ぶ過程で最初に必要な問題や考え方を「基本」、用語などを「基礎」といい、その基礎・基本がある程度身についたらまとめて「基礎」というのではないかと考えています。

このとき、「基礎」でなく「基礎・基本」といってもいいわけですから、基礎と基本の区別がつかなくなってきて「どう使ってもいんじゃない?」、「基礎も基本も同じでしょ?」といった感じになったのではないかと推測しています (^_^)v

数学では、学んだことを使って次の問題を解決していきます。ですから、小学校1年生のいろいろな算数の基礎や基本が身について、それを基礎として小学校2年生の算数の基本を学んできたのです。これを積み重ねることでみなさんは小学校の算数を終わらせてきたはずです。そして、その基礎をもとに中学校数学を学び始めているのが今なのです。

「昨日のテーマで学んだ基本は次のテーマの基礎」となります。もちろん、昨日のテーマで用語などが加わっていれば「昨日のテーマで学んだ基礎・基本は今日のテーマの基礎」となります。

「正の数・負の数の単元で学んだ基礎・基本は、次に学ぶ文字式の基礎」となります。「中学1年生で学んだ基礎・基本は中学2年生の数学を学ぶための基礎」となります。

本当に数学は積み重ねの学問だと思います。

ちなみに、基本と基礎についてインターネットで調べたら、2πr(にーぱいあーる)は「!スッキリ」というサイトの内容が一番しっくりくると感じました。興味のある人は覗いてみてください。

URL:https://gimon-sukkiri.jp/basic/

◆ バケツの穴と学力 ◆

このように考えると、今まで学んできた基礎が土台となって新しい基本を学ぶのですから、基礎はとても大切だとわかってもらえると思います。基礎がなければ学力はつきません。

2πr(にーぱいあーる)は、このことを踏まえて学力をバケツの水に例えて説明することが多かったです。

バケツに蛇口から水を入れることを想像してみてください。

蛇口は、先生、教科書、問題集、動画教材、ノート、ときには友人です。

この蛇口から基礎・基本という水をもらってためていくと学力がついたという感じになります。

ところが、バケツの底に穴が開いているとしたら・・・

水はなかなかたまりませんね。つまり、基礎・基本が流れ出ていくので学力がつきにくいということになります。

中学校数学の場合、バケツの底は「小学校の基礎」です。

たし算、ひき算、かけ算、わり算のスピードが遅かったり間違いが多い人は、水は底からちょろちょろと流れ出ています。これでは数学を理解するのに、つまり水がたまるのに時間がかかってしまいます。

かけ算、わり算がよくわかっていない人は、水は底から勢いよく流れ出ています。もっと時間がかかってしまいます。もしかしたら、水は減ってしまいます。

たし算、ひき算、かけ算、わり算がよくわかっていない人は、水は底からさらに激しい勢いで流れ出ています。これでは、水がたまるはずがありません。つまり、学力はつきません。

どうでしょう?

バケツの穴をふさぐことがとても大切だとわかりましたか?

小学校で学んだことが大切だとわかりましたか?

前の時間に学んだことが大切だとわかりましたか?

数学がわかるようになるためには、今まで学んだことを理解してすぐ出てくるようにすることが重要です。

また、小学校の基礎がある程度身についている人でも、中学校で学ぶ内容が十分に身につかないとバケツの壁に穴が開いている状態と同じになりますから、学力が上がりにくくなってきます。

バケツの壁は学んだことを身につけた中学校の基礎・基本といえます。しっかりした壁をつくるには、よく考えて理解したり、何度も練習してすぐ答えられるようにしたり、暗記すべき用語はしっかり暗記することが大切なのです。

いままでも何度も繰り返してきましたが、ひとつひとつのテーマを確実に身につる努力が最も重要です。

説明動画の最後のスライドに今まで学んできた内容をいろいろ吹き出しでつけておきました。いままでの基礎がどの程度固まっているのかを確認してみてください。

今回は、以上です。

 

 

 

 

 

 

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数学動画教材1202_01「テーマ:文字式の表し方のきまりが理解できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1202_01_文字式の表し方のきまりが理解できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1202_01_文字式の表し方のきまりが理解できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1202_02_文字式の表し方のきまりが理解できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1202_03_文字式の表し方のきまりが理解できる_フラッシュトレーニング_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1202_04_文字式の表し方のきまりが理解できる_フラッシュトレーニング_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 「簡単に表す」が大切な理由  ◆

数式をできるだけ簡単に表すことは、伝える側にとっても、受け取る側にとってもよいことです。

伝える側にとっては、時間と鉛筆(ボーペンのインク・・・)の節約になります。なによりも、ごちゃごちゃした式よりもスッキリした式の方が頭を整理しやすくなります。

受け取る側にとっては、

-1×(2×A)×(2×A) よりも -(2A)² と書いてあった方が見やすいですよね?

だから、「見ただけで何が書いてあるかわかりやすくなる(伝わりやすくなる)」といえます。当然、受け取る側にとっても時間の節約にもなります。

これらのことは、数式が複雑になればなるほど実感できます。

想像してみてください。×÷の省略なしに、先頭項の正の符号や加法の記号+(たす)の省略なしに、つまり「項を並べた式」を使わずに、複雑な式が書かれている世界を・・・

どうでしょう?

「文字式を簡単に表す」ことの大切さがわかってもらえたでしょうか。

◆ 「簡単に表す」のポイント  ◆

式をただ簡単に表せばよいというわけではありません。一番大切なことは「省略しても、元(もと)の式が確実に相手に伝わる」という点です。

別な言葉でいえば「誰が見ても、同じ元の数式が浮かぶ」という当たり前のことが最も大切なポイントです。

簡単に表された数式が見る相手によっていろいろな数式が浮かぶような省略ルールきまりのこと)では、混乱して、無駄な時間が増えるだけです。

このような理由から、数学は「しっかりしたルール」をつくって、その「しっかりしたルール」をみんなで学ぶことが大切になるのです。

ですから、このテーマの動画教材を学ぶときには「本当に誰が見ても、元の数式が浮かぶようになっている?」、「別な式と思われることはない?」という見方で、チェックしながら学ぶことが本当のポイントになります。

それと、分数やカッコが関わる数式はややこしいので、できるだけ詳しく解説したつもりです。このことについてはいろいろな場面で繰り返し触れているので、本当のポイントを忘れずに学ぶことをおすすめします (^_-)v

◆ フラッシュトレーニングのすすめ ◆

文字式の表し方のきまりをしっかり身につけるために、フラッシュトレーニングをおすすめします。

2πr(にーぱいあーる)が現役数学教師だったころ、フラッシュトレーニング用のパワーポイント教材をプロジェクタで黒板等に投影して、考える時間を5秒程度に決めて「先生がハイッといったら、生徒が大声で答えをいう」という形式で実践したことがあります。

クラスの雰囲気にもよりますが、テンポよく進めるとおおむねうまくいきます。もちろん、ひとりで学習するときでもできます。

「1202_03_文字式の表し方のきまりが理解できる_フラッシュトレーニング」も「1202_04_文字式の表し方のきまりが理解できる_フラッシュトレーニング」も、考える時間は5秒として制作しましたが、ひとりひとりの状況に合わせて考える時間をきめてかまいません。

動画教材の場合は一時停止を利用することになりますが、パワーポイント教材ならばそこらへんは自由自在です。

興味がある人は自作してみてはいかがでしょうか?

ちなみに、動画教材の元になっている2πr(にーぱいあーる)が制作したパワーポイント教材は、いまのところ公開する予定はありません m(_ _)m

今回は、以上です。

数学動画教材1201_01「テーマ:文字式を簡単に表す必要性が理解できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1201_01_文字式を簡単に表す必要性が理解できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク なし

◆ 産みの苦しみ ◆

最初に、この段落で話す内容は、中学校数学を学びたい人向けではなく、中学校数学を教えたい人向けとなります。中学校数学を学びたい人は、この段落は抜かしてかまいません。

文字式の単元では、文字式の簡単な表し方、文字式の持つ意味などが確実に理解・定着することが大切だと考えています。しかし、中学1年生に「a+5 は計算できると思いますか ?」と質問をすると、

「できる。最初の+(プラス)と中の+(たす)は書かないから5aになる。」

「できる。aを1×aと考えたものだから1+5で6になる。」

といった教師の立場ではあり得ないような意見がでてきます。

この意見をもとに話しあわせることも授業としてはおもしろいのですが、決められた時間内に正しい結論まで導くのは難しいと感じています。

そもそも、授業内容の質的な取捨選択も含めて議論される授業時数と指導内容量の問題を考えると、実質はある程度の教え込みに頼らざる得ないのが教育環境の実態です。もちろん、素晴らしい実践が散見されるであろうことは否定しませんが・・・

このようなことを踏まえ、ある意味あり得ないような意見がでてこないような説明ができないかと考えて一番最初に制作したのが動画教材「a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算」でした。

この動画教材を一番最初に制作した理由は単純です。この単元を教えることを考えたときに「一番最初に浮かんだ内容」だからです。一番気になっていたことだからです。

こうして、この動画教材を軸にどのような流れで第2章「文字式」の説明を進めていくべきかを考えました。この動画教材が無理なく理解してもらえるために何が必要なのかを考えながら、他の動画教材を付け加え、修正していきました。

その結果が、1201~1205までの一連の動画教材です。

したがって、これらの動画教材は番号順につくられてはいません。

最初に「a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算」と「a+5の意味が理解できる」が順に制作され、次に「文字式の表し方のきまりが理解できる」が加わりました。

そして、2πr(にーぱいあーる)が考える最も基本的なポイントが理解されないまま「a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算」に入ってしまうと、中学校数学の教科書とさほど変わらないと考えて追加されたのが、「1201_01_文字式を簡単に表す必要性が理解できる」です。

その後は、「フラッシュトレーニング動画教材」や「1205_01_同類項の加法計算が正確に計算できる」を付け加えました。その他に、式の値など脇を固める知識をどこに入れようか考えて動画教材を手直ししました。

まぁ、あまりいろいろやったので、自分でも詳しくそれらの経緯を説明できません。こういうのを産みの苦しみとでもいうのでしょうか (^^ゞ

いろいろ試行錯誤して一連の動画教材をつくったものの、自分の意図にそった動画教材になったのかは、はっきりいってわかりません。中学校教師時代にも試行錯誤しながら説明の順番を考えたり、説明の仕方を手直ししてきましたが、暗中模索の繰り返しでした。そこら辺は退職した今も変わっていないということですね (^_^;)

このようなサイトを運営して動画教材を製作しているのは、よりよいものに近づいているのかどうかが少しは見えてくることを期待してなのかもしれません。

そこでお願いです。無理にとはいいませんが、気長にやっているので、感じたことがあれば各テーマのブログにコメントをお願いします m(_ _)m

ちなみに、教え方に関する評価は、教える側の要素もありますが、それよりも教えられる集団の特徴や教える人と教えられる人の関係などにも依存することが多いと感じているので、定量的に行うのはなかなか難しいと考えています。

このような評価は直感を大切にすべきなのかなと、2πr(にーぱいあーる)は考えています。人間は直感で判断してそれを繰り返すことで論理的な判断に近づくことができる動物なのかもしれません。

具体的にいえば、研究授業を参観して協議会をやるよりも、気軽に他人の授業を見て刺激をもらうことの方が教える力を向上させるのかもしれないということです。もちろん、研究授業と研究協議会の必要性も認めるのですが、ブラックな環境の中で形式的に行う弊害の方が大きいのかなと・・・

ですから、直感でコメントを書いてもらっても何の問題もありません・・・「論理的な思考ができるようになることと発想力がつくことが数学の本当の目的」に反するのかもしれませんが (^_^;)

◆ 練習問題動画がない理由 ◆

このテーマ1201には練習問題動画がありません。その理由は、最初に1202~1204の動画教材ができていて、「これでは何かたりない」「もっと伝えたいことはないか」と考えて追加した内容だからです。

この動画で理解してもらいたいことは、「中学校で学ぶ文字式はなかなか複雑な式なんだ」ということです。

だからこそ、

「項を並べた式の考え方はとても大切なんだ」と気づいて欲しいのです。

だからこそ、

「これから学ぶ文字式の表し方は、とても大切な内容なんだ」と理解して欲しいのです。

それらが理解されることで、皆さんはこれからのテーマをより積極的に学んでくれるのではないかと期待しています。

最初は簡単だと感じる人も、内容が深まるにしたがって混乱してくるものです。そうしたときには、何よりも原点に立ち戻って理由を探してみてください。そうすることで、きっと「本当に理解できる」ようになります。

繰り返し、繰り返し、「なぜ?」と考えてください。・・・「なるほど!」を見つけるときっと楽しくなります。

◆ ここで油断すると危ない! ◆

文字式を簡単に表すことの大切さについては動画教材でも詳しく説明していますが、少し内容を付け加えます。

3年生の2次方程式という単元ででてくる「(2x)2乗 -3x -1」という式を、かけ算の記号×やたし算の記号+(たす)を省略せずに書くと、「(+2×)×(+2×) (-3×)(-1)」となります。

この式は動画教材でも取り上げましたが、実は1年生ででてくる文字式にもなかなかややこしいものがあります。

例えば、「(-2x-5)-(6-2x)」のような式がもうすぐでてきますが、この式をかけ算の記号×やたし算の記号+(たす)を省略せずに書くと、「(+2×)+(-5)}{(+6)+(-2×x)」となります。

もっと、詳しく書くと

(+2×)+(-5)}  [{(+6)+(-2×x)}]  」となります。

なかなかややこしいでしょ?

この他にも、もうすぐ現れる分数の文字式などもなかなかです。

こうして考えていくと、文字式の表し方に慣れるには「ゆっくりではダメ」なのです。これから学ぶひとつひとつのテーマを確実に理解して、すぐ思い浮かぶように必死でトレーニングする必要があります。

「中1ギャップ」という言葉を聞いたことがありますか? 2πr(にーぱいあーる)が現役の教師時代にはいろいろな場面で「小学生が中学生になったとき、学校生活や授業のやり方が今までとまったく違うため、いろいろついていけなくなる」というような意味で使われていたのですが、詳しいことは忘れました (^_^;)

とにかく、中学校数学での「中1ギャップ」がどこで起きるかといえば、2πr(にーぱいあーる)は「文字式の単元」と答えます。

「文字式の内容をしっかり身につけていないために、中学校数学についてこられない生徒が多い」と2πr(にーぱいあーる)は感じていました。最初のうちは授業の内容がわかっていても、ある授業からは突然意味が理解できなくなる生徒をよく見たからです。

きっとその原因は、「本当に理解されていない」ことと、「すぐ思い出されるまで身につけていない」ことからきているのだと思います。もっといえば、授業では何となくわかっても練習問題を繰り返して理解を深めながら身につける努力を十分にしなかったからだと思います。(完璧を求める必要はありませんが・・・)

時間がないならば、少しでも時間をつくってみてください。他の教科とのバランスも考える必要がありますが、人間はみんな1日24時間しか持っていません。

ここで油断してはいけません!

という気持ちで頑張ってください。今回は、以上です。

 

数学動画教材1117_01「テーマ:学んだことを使って文章問題を解くことができる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 文章問題は宝の山 ◆

「正の数・負の数」の単元では、はじめて負の数について正式に学び、負の数を含めたすべての数で加減乗除の意味や四則の混じった計算の仕方を身につけてきたと思います。

ここで扱う文章問題は、すべて「正の数・負の数」で学んだことを使わなければできない問題です。言い換えれば、ここで扱う文章問題をすべて解けるようになれば「正の数・負の数」で学んだことはうまく使えるようになっているということになります。

同じようなことを何度も書いているのですが、数学は積み重ねの学問なので難しい問題が解けることはそれまで学んだことが身についていることを示すことになるのです。

そのように考えると、ここで扱う文章問題は宝の山といえるのではないでしょうか。

積み重ねてきた知識や計算力は宝物です。せっかくの宝物をうまく使えるようになってください。

動画教材でお話ししたように、気軽に考えて取り組むのが一番です。

ここで扱う問題だけでなく、積極的に問題集などの問題にも取り組みましょう \(^_^)/

◆ 例1は項がポイント ◆

スライドをよく見てもらえればそれでいいのですが、この単元のまとめにもなるので少しだけ解説を付け加えます。

例1の問題は、「項を理解しているか」を確認する問題です。

動画教材1107_01では、「項とは加法の記号+(たす)でつながれている数字や文字のこ」だと説明しました。このことから、項を考えるときには、「ひき算があればまずたし算に直してから考える」というテクニックが頭に浮かぶ必要があります。

これが一番大切なポイントです。これがわかっている人は、7-3+(-5)の7と-3の間には見えないたし算記号+(たす)が隠れているとすぐわかるはずです。

このとき、7ひく3と読んだ人がいて「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)だから項は7と-3だ」と考えてもかまいません。

これら2つの考え方がすぐ頭に浮かぶ人は、なかなかの実力者ということになります。

もちろん、「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)」が浮かぶということは、「減法は引く数の符号を変えて加法に直せる」ことが身についているということになります。

 

◆ 例2は暗算がポイント ◆

例2は、「A+(-1)+0の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探す問題です。

A+(-1)+0を簡単にするとA+1となるので、この問題は「A+1の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探せばよいことになります。

これなら、「Aにいろいろな数をあてはめてみて暗算 → 答えが-3になる数を探す」という作業をすればよいことになります。

そう考えると、この問題は「とにかくAにいろいろな数をあてはめて答えが-3になるかどうか確かめる」ことが最も重要だとわかります。

つまり、この問題は「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」があるかどうかを確かめる問題といえるのです。

暗算力はとても大切な力です。まだ自信がないという人は、動画教材1106_01にもう一度取り組んでみてください。その方がよくわからない問題に時間を取られるよりもはるかに効率的です (^_-)v

また、この問題が速く正確に解けるようになると、この後で学ぶ「1次方程式」という単元が理解しやすくなります。今は知らなくてよいのですが、そういうよい効果もあるので是非頑張ってください。

 

◆ 例3も暗算がポイント ◆

例3は、いわゆる「魔方陣」という問題です。この問題のポイントも「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」です。

解説をよく見てもらえればよいのですが、例2でやった計算をもっと数多くする問題だからです。

また、「一番最初に3つの数の和がいくつなのかを求める」ことがこの問題のスタートになります。例3の場合は「右上がり斜めの3つの数がそろている」ことに気づくことがポイントです。

ここら辺は、問題文と解説文をよ~く読んで問題の意図を理解できていることがカギになります。

このように、文章問題は「問題の意図を理解する国語の力」が大切になります。

国語も頑張りましょう!

 

◆ 例4は国語力がポイント ◆

例4も暗算力が大切なのですが、一番大切なことは「問題の意味をよく理解できること」だと2πr(にーぱいあーる)は考えます。

問題の意味を理解して、具体的な数字の組み合わせが頭に浮かばなければこの問題は先に進まないからです。

ここら辺は、動画教材の解説をよく読んでみてください。読みながら、いろいろな場合をメモ用紙に書いてイメージが浮かぶようにすることが大切です。

こうして頭が整理できたら、ノートに、できるだけ簡単に、できるだけ思い出しやすいように、まとめてみましょう。これがワンランク上の頭のトレーニングになります。ノート整理頑張りましょう。

 

◆ 例5は「2つの方法」がポイント ◆

例5は3人の身長平均を求める問題ですが、小学校で学んだ「平均の求め方」を覚えていないと話になりません。

そういう人は、解説の最初の解き方をよく見て思い出してください。

その方法がわかっている人は、「仮の平均を使った平均の求め方」ができるようになってください。

この問題のポイントは、「2通りの解き方どちらもできるようになることが大切」ということです。

どちらもできるようになって、いろいろなことがはっきりと理解できるようになるからです。

面倒だといわずに挑戦しましょう。

 

◆ 終わりに~数学の本当の目的 ◆

例5の仮の平均を使った求め方がなぜ正しいのか、わからない人もいるでしょう。なんとなくわかったけれど説明するとなると自信がないという人はもっと多いかと思います。

このあたりの疑問をそのままにせずに、じっくり考えることができるようになることが数学の本当の目的です。

難しい言葉で言うと「論理的な思考ができるようになることと発想力がつくことが数学の本当の目的」です。

「なんとなくわかる」ではなく「こういう理由だからこうなる。次はこんな理由でこうなる・・・」とか、「こうすればいいんじゃないか!?」というふうに、理由をはっきりさせながら考えることができたり、うまい考えが閃く(ひらめく)ようになってほしいということです。

=========

みなさんは、「よくわからないけどまぁいいか」と考えて物事を進めることはありませんか?

それが絶対悪いとはいいませんが、でるだけ理由がはっきりしているほうが自分も他人も納得できるはずですから、理由をはっきりさせて考えを進めるように努力してみてください。

「仮の平均を使った求め方が本当に正しいの?」と感じたら、納得できる理由を自分で考えてみてください。

その姿勢が、あなたを「論理的に考える人、閃く人」に近づけてくれます。社会に出ても「人を納得させられる人、アイデアが浮かぶ人」に近づけてくれます。「相手の話におかしいところがないか判断できる人」に近づけてくれます。

では、最後に「仮の平均を使う方法がなぜ正しいのか」を説明して、この単元のブログを終わります。

(興味や時間のない人は、ここから先は読まなくても結構です)

 


 

「仮の平均を使った求め方が正しい理由」

3本の棒を考えます。この3本の棒の平均の長さを求めることを考えましょう。

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

この3本の合計の長さは9+5+7=21 cm。

21 cm  =====================

この長さを3でわれば、3本の平均の長さが求められます。

21÷3=7

21 cm  ======= ======= =======

平均とは「合計してその個数で割った長さ」をいいます。9cm、5cm、7cm いろいろな長さがあるけど「まぁ、ならしてみると、1本7cmと見とけばいいんじゃない? 」といった感じの数(代表値といいます)です。

では、「仮の平均」を使ったやり方で考えてみます。

仮に、基準を4cm とすると(図の青の線です。基準は何cmにしてもかまいません)

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

これを一直線に並べます。

21 cm  ======= ===== =========

これを、次のように並べ替えてみます。

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

このように並べてみると、

青の平均は12÷3=4

残りの平均が(3+1+5)÷3=9÷3=3

となるので、

平均=4+3=7 だとわかります。

21cm  ==== ==== ==== ===   ===   ===

21 cm  ====  ===   ====  ===  ====  ===

ここで、4は最初に決めた基準、3は「差の平均」つまり「仮の平均」になっているので、

平均=基準+仮の平均

で求めてよいことがわかります。


どうでしょう?

納得してもらえたでしょうか?

言葉だけでは納得できない人もいると思い、長さの図をいろいろ付け加えたので、じっくり見て考えてみてください。


また、話は違うのですが、

下の図を見ると

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

3本の全体の長さ=基準×3+(差の合計)

という関係に気づきませんか?

このように、具体的に考えると別な性質も発見しやすくなります。


ちなみに、この説明を数式を使って説明することもできます。

平均=(9+5+7)/3

=(+5++1++3)/3

/3+5/3+/3+1/3+/3+3/3

/3+/3+/3+5/3+1/3+3/3

=()/3  +(5+1+3)/3

=12/3 + (5+1+3)/3

+ (5+1+3)/3

=基準 + 仮の平均


このように、最初に言葉や図で説明したことが、数式でも説明できるのです。

このことから「数学は言葉」といわれます。

理由をはっきりさせながら説明できる人は、式を使って説明することができるようになります。

式を使って説明できる人は、理由をはっきりさせながら説明することができるようになります。

そして、普通の人が見逃しやすい理由に気づく(閃く)ことができるようになります。

さて、この計算には 加法(減法)と除法(乗法)が使われています。ということは、当然、ここで行われている計算が正しい理由を知っていなければなりません。

その理由のひとつが、「分配法則は正しい」という知識です。

その理由のひとつが、「加法の交換法則、情報の交換法則」という知識です。

その理由のひとつが、「正の数・負の数の分数・小数は四則について閉じている」という知識です。

※冷静に自分がどんな理由(計算法則)で計算を進めているのかを見つめてみてください。他にもあるかもしれません・・・

これらの知識があるからこそ、9,5,7ではなく他の整数や分数・小数であっても「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

これらの知識があるからこそ、仮に基準を7とすると差には負の数が生じますが、このような場合でも「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

そして、今は、9,5,7という「3つの数」を具体例として数式で説明しましたが、次の単元で学ぶ「文字式」を使って説明すると、その「3つの数」がどんな整数や分数・小数でも「平均=基準+仮の平均」が正しいと説明することができます。

理由は、「文字はすべての数字の代わりになる」と考えるからなのですが、文字を使った説明の簡単な例を一番下に付け加えておきます。

「文字式」自体はそれほど難しくありません。次の単元も頑張ってください。

では、「正の数・負の数」の単元は以上です。 \(^_^)/


◆ 参考~「証明」 ◆

「3つの数を考えたとき、平均=基準+仮の平均となることを証明しなさい。」

※証明:筋道立てて説明すること

「証明」

k,x,y,z を正の数・負の数の分数・小数とする。

kは仮の基準、

x,y,zを「仮の基準との差」とすると、

3つの数はそれぞれ、k+x,k+y,k+z、と表される。

これより、

平均={(+x)+(+y)+(+z)}/3

=(+x++y++z)/3

/3+x/3+/3+y/3+/3+z/3

/3+/3+/3+x/3+y/3+z/3

=()/3  +(x+y+z)/3

=3×/3 + (x+y+z)/3

+ (x+y+z)/3

よって、

平均=基準 + 仮の平均 となることがわかる。

証明終わり

※みなさんは、数字の個数は3つ以外に、2つでも、4つでも、5つでも、いくつでも正しいことは、わかるでしょう。そのことをまとめて証明する書き方はありますが、ここでは文字を使った説明文(数式)のイメージを持ってもらうことが目的なので、省略します。(^^)/

 

数学動画教材1115_01「テーマ:加減乗除の混じった計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1115_01_加減乗除の混じった計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1115_01_加減乗除の混じった計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 加減乗除の混じった計算とは ◆

加減乗除の混じった計算というとどんな式を想像しますか?

+-×÷の4つがみんな混じっている式を思い浮かべる人もいるでしょうが、実はそうではありません。

この動画教材であつかっている主な計算式を見てみると、

×40÷5  減乗除

×(-2)(-40)÷5  減乗除

×(-40)÷(-5)  減乗除

÷(-3)÷×405  減乗除

(-4)2乗 ÷{3(-5)}  減乗除

※2乗ということは(-4)×(-4)が含まれているから減除ではない。

84×1281×(-2)  加乗

81×{12+(-2)}  乗

となっており、加減乗除のうちのいくつかが混じっていればOKなのです。(加減乗除の記号つまり演算記号は赤太字にしてあります)

一番下の 81×{12+(-2)} は、カッコをひとつの数と考えるので、かけ算のみの式。つまり項がひとつの式なのですが、分配法則を使うと加乗除が混じっている式(すぐ上の式)になるので加減乗除の混じった計算に入れています。

別ないい方をすると、分配法則を逆に利用する計算があるので下2つの式はここのテーマで扱うことにしているということです。

ここらへんを整理してから、学ぶとよいと思います (^_-)v

 

◆ 大切なことは項の数 ◆

説明動画でも繰り返し触れていますが、加減乗除の混じった計算をするときに一番大切なことは「項の数がいくつなのかを判断できる」ことです。

ここがわかっていないと必ずミスをします。

説明動画を見る前でも、見た後でもかまいませんので、下の計算式の項の数をパッと見て判断してみてください。全部あっていればOKです。

そうでなければ、まだまだ修行が足りないということになります (^_^;)

では、いきます。

×40÷

×(-2)(-40)÷

×(-40)÷(-5)

÷(-3)÷×40

(-4)2乗 ÷{3(-5)}

84×1281×(-2)

81×{12+(-2)}

では、答えです。

項と項の間を離してあります。

続きを読む 数学動画教材1115_01「テーマ:加減乗除の混じった計算が正確にできる」について

数学動画教材1110_01「テーマ:分数の加法が正確に計算できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1110_01_分数の加法が正確に計算できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1110_01_分数の加法が正確に計算できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

これで計算力は十分

今回のテーマのねらいは、「分数の加法計算を通して今までの計算を確実に身につけてほしい」ということです。

分数の加法計算と書きましたが、「見た目が減法」でも、「項を並べた式とカッコのある式が混じった式」でも、最終的には「項を並べた式」つまり加法として計算するので、結局は分数の加法計算がすらすらできるようになればすべてOKということです。

そして、分数の加法計算には今まで習ってきた計算テクニックが必要になります。つまり、分数の加法計算が正確にできれば、今まで習った計算テクニックが身についているといってもいいのです。

逆にいえば、分数の加法計算ができるように努力すれば、今まで習った計算テクニックがすべてできるようになるということです。

分数の加法計算が正確にできれば、計算力は申し分ありません。計算が得意な人は「速く正確に」を目標に、計算が苦手な人は「正確に」を目標に、確実に答えが出せるように練習してください。

今回の動画教材では、

分数の計算では小学校で習った通分と約分は避けて通れませんから、最初にその確認をしました。しかし、機械的に思い出すだけでは意味がないので、分数の意味と性質を簡単に説明しました。

分数の意味といってもあまり堅苦しい説明だと直感的に理解できないので、動画教材では「分数は、1をいくつに分けた何個分なのかを表す数字」のように説明をしています。

これを、「分数とは、整数 a 0 ではない整数 b でわった答えを a /b で表したもので、わり算を表しているともいえる。 また、0 ではない整数 b でわるということは、0でわることは考えないということ。下の整数 b を分母、上に整数 a を分子という・・・」などと説明したら、見るのやめますよね (^_^;

それに、小学校でどの程度習っているのかも人によって違うでしょうから・・・

しかし、「0で割ることは考えない」という点はとても重要で、後で必ず役に立ちますから覚えておきましょう。

また、「分数はわり算(除法)を表している」ということも、あわせて覚えておくべきことです。

これらについては、これからの計算にも必要なことなので、次の段落で少しくわしく説明します。

 

◆ 0でわること ◆

なぜ「0でわることは考えない」のかは、次のように考えると理解できます。

まず、わり算(除法)の意味を考えましょう。

 

6÷2=3 は、「○が6あるとき、2ずつ分けると何グループできますか? 3 です。」という意味になります。

○○○○○○ ÷ ○○ = ○○、○○、○○の3グループ

 

このことを理解したうえで、わる数を、6、3、2、1、0.5、0.1、と小さくしてみます。

 

6÷6=1 は、「○が6あるとき、6ずつ分けると何グループできますか? 1です。」

○○○○○○ ÷ ○○○○○○ = ○○○○○○の1グループ

6÷3=2 は、「○が6あるとき、3ずつ分けると何グループできますか? 2です。」

○○○○○○ ÷ ○○○ = ○○○、○○○の2グループ

6÷2=3 は、「○が6あるとき、2ずつ分けると何グループできますか? 3です。」

○○○○○○ ÷ ○○ = ○○、○○、○○の3グループ

6÷1=6 は、「○が6あるとき、1ずつ分けると何グループできますか? 6です。」

○○○○○○ ÷ ○ = ○、○、○、○、○、○の6グループ

 

次は、「わる0.5」 つまり 「わる2分の1」 です。

答えは、6÷0.5=12 になりますが、その意味は、

「○が6あるとき、0.5ずつ分けると何グループできますか?」

「1の中には0.5が2グループできるので、6の中には12です。」

 

 

最後に、「わる0.1」 つまり 「わる10分の1」 です。

答えは、6÷0.1=60 になりますが、その意味は、

「○が6あるとき、0.1ずつ分けると何グループできますか?」

「1の中には0.1が10グループできるので、6の中には60です。」

 

どうでしょう? 当然ながら、わる数が小さくなればなるほど、6の中にはわる数がたくさん入っていることになります。つまり、できるグループ数が多くなります。

ということは、わる数が0に近づけば近づくほど、答えは非常に大きな数になることがわかります。

最終的には、答えは数字ではなく、無限大(infinity )としてごまかすしかなくなります。

こう考えると、0でわるということは答えはが出せないという結論になってしまいます。

だから「0でわることは考えない」というきまりになったと理解しておいてください (^_^)v

 

◆ 分数はわり算 ◆

分数はわり算(除法)を表している」ということは、次のように考えて理解してください。

 

6÷2は3になります。6/2(2分の6)も3になります。

6÷3は2になります。6/3(3分の6)も2になります。

6÷1は6になります。6/1(1分の6)も6になります。

6÷6は1になります。6/6(6分の6)も1になります。

 

このように、「分子÷分母」と「(分母)分の(分子)」は同じ計算をあわらしています。

つまり、どちらもわり算(除法)の表し方のひとつなのです。

ちなみに、この他に同じような意味を持つ表現には「割合を表す比」があります。

6:1は、6/1 と同じ。つまり、6÷1と同じ。

6:2は、6/2 と同じ。つまり、6÷2と同じ。

6:3は、6/3 と同じ。つまり、6÷3と同じ。

6:6は、6/6 と同じ。つまり、6÷6と同じ。

・・・ということです。

 

どうでしょう?

分数はわり算(除法)を表している」ということが納得できましたか?

あとは、「わり算(除法)が、分子÷分母 」であることを間違えないようにしてください。慣れない人は、よく逆に考えることがあります。

順序を忘れたら、「6:2は、6/2 と同じ。つまり、6÷2と同じ。」を思い浮かべて、「分子÷分母 」であることを思い出してください。

 

◆ 比:と ÷ の関係 ◆

6:1は、6/1 と同じ。つまり、6÷1と同じ。

6:2は、6/2 と同じ。つまり、6÷2と同じ。

6:3は、6/3 と同じ。つまり、6÷3と同じ。

6:6は、6/6 と同じ。つまり、6÷6と同じ。

・・・を見て、

「分数はわり算(除法)を表している」以外になにか気づきませんか?

 

実は、比の記号 : に、横棒を入れると、わり算(除法)の記号 ÷ になっています。

 

恐らく、歴史的には比や分数が先に考え出されて、その計算を表す新しい記号として ÷ が生まれたのではないかと、2πr(にーぱいあーる)は勝手に考えています。まったく別の由来もあるようですし、調べていないので確証はありませんが ・・・ m(_ _)m

でも、図のように分数から ÷ の記号が生まれたと考えるのは妥当だと考えています。

 

 

参考までに、次の3つの式を見比べてください。

 

18÷3=6÷1=6

18/3=6/1=6

18:3=6:1 比の値

比の値とは「記号:の右側の数字を基準に、記号:の左側の数字はその何倍なのかを表す数字」です。

どれも意味は同じです。

 

◆ 世界のわり算 ◆

話は少しそれるのですが、

日本は、なぜ18÷3=6÷1=6 の表現方法を採用したのでしょう。

「そもそも÷しか入ってこなかった?」

「÷を使った方が縦書きにも横書きにも使えると考えた?」

本当の理由はわかりませんが、÷ は世界ではほとんど使われていない記号であることは事実のようです。

ですから、「分数はわり算(除法)と同じ」ということは常に意識しておくとよいと思います。

特に、文字式を習うと ÷ を分数で表すきまりが出てきますし、実際に分数をわり算(除法)と考えることも多くなります。

インターネットで調べた限りでは、世界の多くの国々では、わり算(除法)を表すために、18/3=6/1=6 や 18:3=6:1 の表現方法を採用しているようです。

記号 ÷ を使っているのはイギリスとアメリカくらいのようです。しかし、アメリカで ÷ を見たことがないという人もいるようなので、本当のところはわかりません。

外国の人に会ったら、ぜひ質問してみてください。意外な事実が見えてくると思います。

ちなみに、数学などに関する備忘録というインターネット上のページには、スウェーデンあたりでは昔、マイナス記号の代わりに ÷ を使っていたこともあると記述されていました。

また、ウィキペディアでは次のような興味深い文章がありました。

ポーランド語などで、「÷」は範囲を示すのに使われていた。「:」にも同様の意味があり、たとえば「10÷20」や「10:20」は「10から20まで」を意味する。現在では自然言語ではあまり使われないが、Excelのセル範囲指定で「:」が使われる。

このように調べていくと、所詮(しょせん)数学で使われる記号は人間がつくったもので、つくった人やつくられた地域、その歴史などで、いろいろな記号が生まれ、いろいろな使い方がされている、ということがわかります。

まあ、これからは、わり算(除法)の記号は「/(スラッシュ)」、かけ算(乗法)の記号は「*(アスタリスク)」が世界共通になるかもしれません。

なぜならば、電卓やパソコンのキーボードに「÷」や「×」はないからです。あるのは「/」と「*」だけですから。

 

◆ 大切な計算はひとつ ◆

話を本題に戻します。

練習問題動画では、中学校で学ぶ分数の加法計算を4つの問題をもとに説明しています。

しかし、押さえるべき大切な計算はひとつだけです。それは,説明動画の最終問題である (-3/2)+(+1/4) です。

なぜならば、

項を並べた式に直して通分するテクニック

を使えば1,2番目の問題と共通ですし、

最初に同符号・異符号の2数の和を使うテクニック

も扱いやすい問題だからです。

この問題を2つのテクニックを使って解ければ、ここでのポイントはすべて押さえたことになります。

 

あと、間違えやすいのは「分数の横棒がカッコの代わり」ということでしょう。

写真のように、分子の項が 6 と -1 の2つあるときに分数を使う場合は、分子の6-1 を(  )で囲む必要はありません。分数の横棒がカッコの役割をしているからです。

数学の世界では、同じ意味をもつ2つの表現を2つ同時に使うと意味が変わることがあります。また、できるだけ簡単に表す必要があります。こうした理由から、分数の横棒がカッコの役割をしているので、さらに分子をカッコで囲むことはしないのです。

カッコをつけると間違いと判定されることもあるので、注意してください。

 

ちなみに、

スラッシュを使ってこの式を表すときは、カッコが必要になり、-(6-1)/4 と書きます。そして、この式は(-6+1)/4と表すこともできます。

これは、どちらも -5/4になることから納得できると思います。

カッコをつけずに -6-1/4 と書くと、「/4」は-1にだけ影響して(-6)+(-1/4)の意味になります。-6 と -1/4  は別々な項になることに注意してください。

このように、カッコの使い方は実はとても注意が必要です。

ついでに書いておくと、(-6-1)/4と-(6-1)/4はちがいます。

(-6-1)/4は-7/4、-(6-1)/4は-5/4となるからです。

カッコのつけ方がちょっと違うだけで全く違う式になりますね。

 

◆ 練習問題の補足 ◆

練習問題1.は、2通りの計算が正確にできることを目的につくりました。

 

 

 

 

 

練習問題2.は、項が3つの場合にも正確に計算できることを目的につくりました。

 

 

 

 

 

 

あとは、細かなテクニックが理解できるように解説を書きました。

細かなテクニックは、次の3つです。

① 「項を並べた式にして計算」が原則

分数や小数があっても、いままでと同様に「項を並べた式に直す」ことが一番のテクニック。

② 途中計算のテクニック

途中計算は、ミスをしないために必要ですが、相手に自分の考えを伝えるためにも書きます。しかし、分数の加法計算ともなると、基礎的な計算は暗算でやって途中計算に書かない方が、相手も自分も見やすくなります。だらだら長いだけの文章を、簡潔な文章にする方が好まれるのと同じです。

どの程度の途中計算を書けるようになればいいかについて、何ヶ所かで触れています。それらを参考に、自分にとっての理想の途中計算をノートにまとめてみるとよいと思います。

③ 整数や小数が混じっているときのテクニック

整数も小数も、「1分の~」という分数になることを利用して、全部分数にしてから計算する。

 

これらのテクニックを意識して、何度も練習してください。

問題を見たらスラスラと途中計算が書けるようになれば、このテーマは卒業です。

 

今回は、以上です。

 

数学動画教材1109_01「テーマ:項を並べた式に直して速く正確に計算できる」について

◆ はじめに ◆

最初にお詫びをしなければなりません。動画教材のタイトル画像で、テーマが「項を並べた式に直して素早く正確に計算できる」とありますが、「素早く」は「速く」の間違いです。「正確」とセットなら「速く正確」だろうということで、「速く」を使うことにしました。混乱させて申し訳ありません。最初に動画教材を制作したときにタイトル画像の修正を忘れていました (^^ゞ

ちなみに、「素早く」と「素速く」では「素早く」が一般的に使われているようですが、ここでは「素速く」を使っています。

今回は、数学動画教材1109_01「テーマ:項を並べた式に直して速く正確に計算できる」の内容について少し詳しく説明します。

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1109_01_項を並べた式に直して速く計算できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1109_01_項を並べた式に直して速く計算できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

項を並べた式に素速く直すことに慣れよう

今回のテーマのねらいは、「項を並べた式に素速く直すことに慣れる」です。これさえ身につけば、速く正確に計算することができるようになります。

多くの人は、「項」や「項を並べた式」を理解していても、いざ計算となると項を並べた式に直さず計算しようとしたり、項を並べた式に直そうとしても正確に直せなかったりして、計算を間違えたり、時間がかかってしまうようです。

また、項を並べた式に直してしまえば、ほとんどの人が「同符号・異符号の2数の和」を使って答えを出すことができるようです。(このシリーズでは、そのために練習をやってきました)

このように考えていくと、速く正確に答えを出すためには、いかに速く正確に項を並べた式に直せるかが大切だということになります。

ぜひ、素速く正確に項を並べた式に直せるようになってください。

動画教材でも触れていますが、このテーマでは新しく学ぶことは何もありません。ですから、今お話ししたことを常に頭に入れて練習問題に取り組んでください。

 

◆ 途中計算はとても大切です ◆

項を並べた式に速く正確に直すことが重要だと書きましたが、ただ、頭で意識しているだけではなかなか身につきません。ですから、途中計算には必ず項を並べた式を書いてください

 

説明動画の後半では、「項を並べた式とカッコのある式が混じった式」では「たし算に直す途中計算」は無理に書かなくてもよいことに触れています。

これは、「もうそろそろ暗算で項が並べる式に直せるようになったはずですよね」という意味が込められています。

 

みなさんは、3-5=-2 を計算するとき途中計算を書きますか?

ほとんどの人は暗算で答えを出すはずです。(たとえ「同符号・異符号の2数の和」を使えない人でも・・・)

つまり、このテーマを勉強している段階の皆さんは、すでに「同符号・異符号の2数の和」の計算は余裕で暗算できなければならない段階にいるということです。

 

同じように、今は、そろそろ暗算で項が並べる式に直せるようになる段階ということです。

 

以上のことから、今は、項を並べた式に速く正確に直すことに慣れるために途中計算を書く段階だと考えて練習しましょう。その意味で、途中計算はとても大切なのです。

もちろん、忘れたり、自信がないときは、ていねいに途中計算を書くことは大切です。また、あいている場所にメモ程度の計算をしながら途中計算を書いてもいいと思います。そして、徐々に速く正確に計算ができるようになってください。

 

◆ 小数の加法にも慣れよう! ◆

練習問題の (9) では、解説に 2.22.3=+(2.32.2)0.1 という途中計算があります。この途中計算は、「異符号の2数の和は、絶対値の大きい方の符号に絶対の差で計算できる」ことを使って書かれています。

同符号・異符号の2数の和は基本的には簡単なのですが、小数や分数になると急に難しく感じる人が多くなるようです。

しかし、小数の加法計算は、整数の場合と全く同じです。ですから、この機会に小数でも暗算で加法計算ができるくらいに練習してください。

小数の計算が苦手な人は、小学校のノートや問題集を調べたり、周囲の人に聞いて、今のうちに小数の加法計算ができるようになりましょう。

分数の加法計算については少し難しい計算があるので、次のテーマで詳しく説明します。

 

今回は以上です。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

数学動画教材1108_01「テーマ:項を並べた式のよさが理解できる」について

◆ はじめに ◆

今回は、数学動画教材1108_01「テーマ:項を並べた式のよさが理解できる」の内容について少し詳しく説明します。

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1108_01_項を並べた式のよさが理解できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1108_01_項を並べた式のよさが理解できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

項を並べた式のよさ

今回のテーマのねらいは、「項を並べた式はこんな理由で便利なんだ」と納得してもらうことです。「項を並べた式のよさ」については、動画教材で詳しく説明しています。納得するまで説明動画のスライドをじっくり見てください。

 

 

 

 

 

ここでは、この動画教材のポイントをもう一度確認します。

最も大切なことは、「たとえひき算に見えても加法なのだからいろいろ工夫ができる」ということが便利だと感じてもらえるかどうかです。

そのために、いろいろな例を説明しました。

そして、その工夫が「加法の性質」があるからできるということを理解してもらうことも大きなポイントです。

「加法の交換法則」、「加法の結合法則」は用語としても重要ですが、これらを使うと「3つ以上の数の加法は自由に2つの数を選んでから計算してもよい」という性質が生まれることが最も重要です。

これは、「項が並んだ式は、自由に順番を入れ替えてもよい」という性質といってもかまいません。

この性質があるからこそ、動画教材で紹介したような工夫ができるのです。

そして、この自由さはひき算にはありません!

ちなみに、乗法(かけ算)にも交換法則と結合法則があるので、必ず「加法の~法則」といいましょう。

乗法にも加法と同じような自由さがあります。このことについてはもう少し後のテーマでお話しします。もちろん、除法(わり算)には乗法のような自由さはありません (^^ゞ

項を並べた式の自由さがあるから「計算が楽になる」と感じるかどうかは、人によって違うと思います。

そこで、説明動画の最後のスライドでは「項を並べた式の方が工夫して計算できることはわかるでしょ?」と言い直しています。

ここには、今は感じなくてもいいが、どんどん計算をしていくうちに計算が楽になることを感じてくれるばすだ、という気持ちが込められています。

とりあえず今は、計算するときに少しでも楽になるように工夫してみてください。そうして、余裕がでてくる頃には「計算が楽になる」ことが実感できると思います。

 

◆ 項はカードと考える! ◆

「項を並べた式」には、「自由に順番を入れ替えてよい」、「どの数から計算してもよい」という性質があることについて、もう少し詳しく見てみます。

説明動画に 1+3+5 の計算を例に、自由に2つの数を選んで最初の計算をしてよいことを説明するスライドがあります。

左側の

1+3+5

=4+5

=9

は、左側から計算する原則にしたがって計算して、1と3を先に計算してよいことを表しています。

真ん中の

1+3+5

=1+5+3

=6+3

=9

は、加法の交換法則を1回使って3と5を交換できることから、1と5を先に計算してよいことを表しています。

右側の

1+3+5

=3+1+5

=3+5+1

=8+1

=9

は、2回加法の交換法則を使っています。

1回目は1と3を交換し、2回目は1と5を交換して、3+5+1 の式に変身できることから、3と5を先に計算してもよいことを表しています。

このように、場合分けをして考えることで、 1+3+5 は、1と3を先に計算しても、1と5を先に計算しても、3と5を先に計算してもよいことがわかるのです。そして、結果的に「1と3と5のどの2つの数から計算してもよい=自由」ということになります。

そして、くどいようですが、交換法則を使うと 1.3.5 の順番は自由に入れ替えてもいいことがわかります。

まるで、数字を書いたカードを並べて、そのカードを入れ替えている感じです。

これが「項を並べた式」のすばらしいところです。

項」をカードと考えて自由に順番を入れ替えるイメージを持つと、これからの計算にとても役立ちます。ぜひこうしたイメージを持ってください。

イメージを持ってもらうために、1108練習問題動画の2.(4)の問題を使って オマケ動画を制作しました。お遊び程度の簡単なものですが、見てやってください (^_^)v

 

 

◆ 本当のテクニック ◆

「項を並べた式」で楽をして計算しようとするときに、多少なりともテクニックがあります。

動画教材でも触れていますが、整理してみましょう。

一つ目のテクニックは、練習問題動画のほとんどの問題に使われている

◎「異符号の和」よりも「同符号の和」を先に計算する

というテクニックです。

ほとんどの人は「同符号の和」の方が計算が楽だと感じていることから、このようなテクニックがあります。

もちろん、「異符号の和」の方が計算が楽と感じている人は、「異符号の和」を先に計算してかまいません。

二つ目のテクニックは、

◎ 計算して 0 になるものを探す

というものです。

1.(1),(2) や 2.(1),(2) で使われています。

2.(4)

-4+2-5+3

の別解でも使われています。これは上級者向けテクニックなので詳しく見てみましょう。

ポイントは、「+2と+3で+5、これと-5を計算すると0になる!」ことに気づく・・・ことではありません。

本当のポイントは、

頭の中で、たくさんの計算方法を考えて比べることができる」ことです。

-4+2-5+3

=-4-5+2+3

=-9+5

=-4

とした方が楽か?

-4+2-5+3

=-4-5+2+3

=-4+5+5

=-4+0

=-4

とした方が楽か?

-4+2-5+3

=-2-2

=-4

とやるのも楽かも・・・

と、いろいろな計算方法を思い浮かべながら、どれを選択するか決めることができることが本当テクニックだと思います。

このテクニックは、影のテクニックといったところでとしょうか。

 

 

最後に、もうひとつテクニックを紹介します。

これは好き嫌いがあるので無理におすすめはしません。「こんなテクニックもあるんだ」程度に聞いておいてください。

では、そのテクニックとはこんな感じです。

◎ 計算して10や-10などの後の計算が楽になりそうな数字を選ぶ

どうでしょう?

ピンときましたか?

1.(5),(6) や 2.(5),(6) などがその例です。

2.(5) 8-99+9 では、

「-99+9を先に計算して、8-90を計算した方が、8-99を先に計算して-91+9を計算するよりも楽だ」と考えているということです。

あなたはどう考えますか?

 

以上、3つの◎テクニックを紹介しましたが、いろいろな計算方法を考えて途中計算を決めることこそが「本当のテクニック(影のテクニック)」です。

この「本当のテクニック」こそがとても大切なので、「頭の中で、どんな工夫がより楽なのかを比べられることが大切」という文章を、3枚ものスライドに入れたのです。

 

以上のことを意識して、しっかり計算練習をしましょう。

頑張ればきっとスラスラできるようになります。もちろん、計算も楽になります!

 

今回は、以上です。