数学動画教材1117_01「テーマ:学んだことを使って文章問題を解くことができる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 文章問題は宝の山 ◆

「正の数・負の数」の単元では、はじめて負の数について正式に学び、負の数を含めたすべての数で加減乗除の意味や四則の混じった計算の仕方を身につけてきたと思います。

ここで扱う文章問題は、すべて「正の数・負の数」で学んだことを使わなければできない問題です。言い換えれば、ここで扱う文章問題をすべて解けるようになれば「正の数・負の数」で学んだことはうまく使えるようになっているということになります。

同じようなことを何度も書いているのですが、数学は積み重ねの学問なので難しい問題が解けることはそれまで学んだことが身についていることを示すことになるのです。

そのように考えると、ここで扱う文章問題は宝の山といえるのではないでしょうか。

積み重ねてきた知識や計算力は宝物です。せっかくの宝物をうまく使えるようになってください。

動画教材でお話ししたように、気軽に考えて取り組むのが一番です。

ここで扱う問題だけでなく、積極的に問題集などの問題にも取り組みましょう \(^_^)/

◆ 例1は項がポイント ◆

スライドをよく見てもらえればそれでいいのですが、この単元のまとめにもなるので少しだけ解説を付け加えます。

例1の問題は、「項を理解しているか」を確認する問題です。

動画教材1107_01では、「項とは加法の記号+(たす)でつながれている数字や文字のこ」だと説明しました。このことから、項を考えるときには、「ひき算があればまずたし算に直してから考える」というテクニックが頭に浮かぶ必要があります。

これが一番大切なポイントです。これがわかっている人は、7-3+(-5)の7と-3の間には見えないたし算記号+(たす)が隠れているとすぐわかるはずです。

このとき、7ひく3と読んだ人がいて「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)だから項は7と-3だ」と考えてもかまいません。

これら2つの考え方がすぐ頭に浮かぶ人は、なかなかの実力者ということになります。

もちろん、「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)」が浮かぶということは、「減法は引く数の符号を変えて加法に直せる」ことが身についているということになります。

 

◆ 例2は暗算がポイント ◆

例2は、「A+(-1)+0の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探す問題です。

A+(-1)+0を簡単にするとA+1となるので、この問題は「A+1の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探せばよいことになります。

これなら、「Aにいろいろな数をあてはめてみて暗算 → 答えが-3になる数を探す」という作業をすればよいことになります。

そう考えると、この問題は「とにかくAにいろいろな数をあてはめて答えが-3になるかどうか確かめる」ことが最も重要だとわかります。

つまり、この問題は「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」があるかどうかを確かめる問題といえるのです。

暗算力はとても大切な力です。まだ自信がないという人は、動画教材1106_01にもう一度取り組んでみてください。その方がよくわからない問題に時間を取られるよりもはるかに効率的です (^_-)v

また、この問題が速く正確に解けるようになると、この後で学ぶ「1次方程式」という単元が理解しやすくなります。今は知らなくてよいのですが、そういうよい効果もあるので是非頑張ってください。

 

◆ 例3も暗算がポイント ◆

例3は、いわゆる「魔方陣」という問題です。この問題のポイントも「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」です。

解説をよく見てもらえればよいのですが、例2でやった計算をもっと数多くする問題だからです。

また、「一番最初に3つの数の和がいくつなのかを求める」ことがこの問題のスタートになります。例3の場合は「右上がり斜めの3つの数がそろている」ことに気づくことがポイントです。

ここら辺は、問題文と解説文をよ~く読んで問題の意図を理解できていることがカギになります。

このように、文章問題は「問題の意図を理解する国語の力」が大切になります。

国語も頑張りましょう!

 

◆ 例4は国語力がポイント ◆

例4も暗算力が大切なのですが、一番大切なことは「問題の意味をよく理解できること」だと2πr(にーぱいあーる)は考えます。

問題の意味を理解して、具体的な数字の組み合わせが頭に浮かばなければこの問題は先に進まないからです。

ここら辺は、動画教材の解説をよく読んでみてください。読みながら、いろいろな場合をメモ用紙に書いてイメージが浮かぶようにすることが大切です。

こうして頭が整理できたら、ノートに、できるだけ簡単に、できるだけ思い出しやすいように、まとめてみましょう。これがワンランク上の頭のトレーニングになります。ノート整理頑張りましょう。

 

◆ 例5は「2つの方法」がポイント ◆

例5は3人の身長平均を求める問題ですが、小学校で学んだ「平均の求め方」を覚えていないと話になりません。

そういう人は、解説の最初の解き方をよく見て思い出してください。

その方法がわかっている人は、「仮の平均を使った平均の求め方」ができるようになってください。

この問題のポイントは、「2通りの解き方どちらもできるようになることが大切」ということです。

どちらもできるようになって、いろいろなことがはっきりと理解できるようになるからです。

面倒だといわずに挑戦しましょう。

 

◆ 終わりに~数学の本当の目的 ◆

例5の仮の平均を使った求め方がなぜ正しいのか、わからない人もいるでしょう。なんとなくわかったけれど説明するとなると自信がないという人はもっと多いかと思います。

このあたりの疑問をそのままにせずに、じっくり考えることができるようになることが数学の本当の目的です。

難しい言葉で言うと「論理的な思考ができるようになることと発想力がつくことが数学の本当の目的」です。

「なんとなくわかる」ではなく「こういう理由だからこうなる。次はこんな理由でこうなる・・・」とか、「こうすればいいんじゃないか!?」というふうに、理由をはっきりさせながら考えることができたり、うまい考えが閃く(ひらめく)ようになってほしいということです。

=========

みなさんは、「よくわからないけどまぁいいか」と考えて物事を進めることはありませんか?

それが絶対悪いとはいいませんが、でるだけ理由がはっきりしているほうが自分も他人も納得できるはずですから、理由をはっきりさせて考えを進めるように努力してみてください。

「仮の平均を使った求め方が本当に正しいの?」と感じたら、納得できる理由を自分で考えてみてください。

その姿勢が、あなたを「論理的に考える人、閃く人」に近づけてくれます。社会に出ても「人を納得させられる人、アイデアが浮かぶ人」に近づけてくれます。「相手の話におかしいところがないか判断できる人」に近づけてくれます。

では、最後に「仮の平均を使う方法がなぜ正しいのか」を説明して、この単元のブログを終わります。

(興味や時間のない人は、ここから先は読まなくても結構です)

 


 

「仮の平均を使った求め方が正しい理由」

3本の棒を考えます。この3本の棒の平均の長さを求めることを考えましょう。

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

この3本の合計の長さは9+5+7=21 cm。

21 cm  =====================

この長さを3でわれば、3本の平均の長さが求められます。

21÷3=7

21 cm  ======= ======= =======

平均とは「合計してその個数で割った長さ」をいいます。9cm、5cm、7cm いろいろな長さがあるけど「まぁ、ならしてみると、1本7cmと見とけばいいんじゃない? 」といった感じの数(代表値といいます)です。

では、「仮の平均」を使ったやり方で考えてみます。

仮に、基準を4cm とすると(図の青の線です。基準は何cmにしてもかまいません)

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

これを一直線に並べます。

21 cm  ======= ===== =========

これを、次のように並べ替えてみます。

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

このように並べてみると、

青の平均は12÷3=4

残りの平均が(3+1+5)÷3=9÷3=3

となるので、

平均=4+3=7 だとわかります。

21cm  ==== ==== ==== ===   ===   ===

21 cm  ====  ===   ====  ===  ====  ===

ここで、4は最初に決めた基準、3は「差の平均」つまり「仮の平均」になっているので、

平均=基準+仮の平均

で求めてよいことがわかります。


どうでしょう?

納得してもらえたでしょうか?

言葉だけでは納得できない人もいると思い、長さの図をいろいろ付け加えたので、じっくり見て考えてみてください。


また、話は違うのですが、

下の図を見ると

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

3本の全体の長さ=基準×3+(差の合計)

という関係に気づきませんか?

このように、具体的に考えると別な性質も発見しやすくなります。


ちなみに、この説明を数式を使って説明することもできます。

平均=(9+5+7)/3

=(+5++1++3)/3

/3+5/3+/3+1/3+/3+3/3

/3+/3+/3+5/3+1/3+3/3

=()/3  +(5+1+3)/3

=12/3 + (5+1+3)/3

+ (5+1+3)/3

=基準 + 仮の平均


このように、最初に言葉や図で説明したことが、数式でも説明できるのです。

このことから「数学は言葉」といわれます。

理由をはっきりさせながら説明できる人は、式を使って説明することができるようになります。

式を使って説明できる人は、理由をはっきりさせながら説明することができるようになります。

そして、普通の人が見逃しやすい理由に気づく(閃く)ことができるようになります。

さて、この計算には 加法(減法)と除法(乗法)が使われています。ということは、当然、ここで行われている計算が正しい理由を知っていなければなりません。

その理由のひとつが、「分配法則は正しい」という知識です。

その理由のひとつが、「加法の交換法則、情報の交換法則」という知識です。

その理由のひとつが、「正の数・負の数の分数・小数は四則について閉じている」という知識です。

※冷静に自分がどんな理由(計算法則)で計算を進めているのかを見つめてみてください。他にもあるかもしれません・・・

これらの知識があるからこそ、9,5,7ではなく他の整数や分数・小数であっても「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

これらの知識があるからこそ、仮に基準を7とすると差には負の数が生じますが、このような場合でも「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

そして、今は、9,5,7という「3つの数」を具体例として数式で説明しましたが、次の単元で学ぶ「文字式」を使って説明すると、その「3つの数」がどんな整数や分数・小数でも「平均=基準+仮の平均」が正しいと説明することができます。

理由は、「文字はすべての数字の代わりになる」と考えるからなのですが、文字を使った説明の簡単な例を一番下に付け加えておきます。

「文字式」自体はそれほど難しくありません。次の単元も頑張ってください。

では、「正の数・負の数」の単元は以上です。 \(^_^)/


◆ 参考~「証明」 ◆

「3つの数を考えたとき、平均=基準+仮の平均となることを証明しなさい。」

※証明:筋道立てて説明すること

「証明」

k,x,y,z を正の数・負の数の分数・小数とする。

kは仮の基準、

x,y,zを「仮の基準との差」とすると、

3つの数はそれぞれ、k+x,k+y,k+z、と表される。

これより、

平均={(+x)+(+y)+(+z)}/3

=(+x++y++z)/3

/3+x/3+/3+y/3+/3+z/3

/3+/3+/3+x/3+y/3+z/3

=()/3  +(x+y+z)/3

=3×/3 + (x+y+z)/3

+ (x+y+z)/3

よって、

平均=基準 + 仮の平均 となることがわかる。

証明終わり

※みなさんは、数字の個数は3つ以外に、2つでも、4つでも、5つでも、いくつでも正しいことは、わかるでしょう。そのことをまとめて証明する書き方はありますが、ここでは文字を使った説明文(数式)のイメージを持ってもらうことが目的なので、省略します。(^^)/

 

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数学動画教材1116_01「テーマ:数の集合と四則に関する問題を解くことができる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1116_01_数の集合と四則に関する問題を解くことができる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1116_01_数の集合と四則に関する問題を解くことができる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 数の拡張の歴史(想像) ◆

大昔の人間が初めて行った計算は加法(たし算)である可能性が高いと思われます。指で数えたり、石ころを並べて数えたりして、

1+1=2、1+2=3、1+3=4・・・、2+1=3、2+2=4、2+3=5・・・と、いろいろ数を変えて加法の計算をしたことでしょう。

しかし、自然数と自然数のたし算ですから答えも自然数になるので、0や負の数は考える必要がありませんでした。というより、最初に計算をした人たちは「自然数の世界」しか知らなかったはずです。

その人たちが、時間が経つにつれて、

持っているものが減ることを数えるために減法(ひき算)を、

持っているものを人に分けるために除法(わり算)を、

少し大きな数の加法計算をするようになって「ある個数のかたまりがいくつあるかで全体の個数を表す方法」を工夫して乗法(かけ算)を、

生みだしたのだと2πr(にーぱいあーる)は考えています。

もちろんその順番は知るよしもありません。世界中のいつどこでどのように進化したのかは恐らく誰も知ることはできないでしょう。

そんな感じで四則が生まれましたが、しばらくすると、5÷2=?、2÷7=?・・・のような答えが「自然数の世界」にはないことが気になって仕方なくなります。

この状態が、「除法は自然数について閉じていない」という状態です。

そして、この壁を打ち破るために、人間は分数や小数を生みだしたというわけです。

ちなみに、加法計算や乗法計算では「自然数の世界」で何不自由なく計算できたので、その状態を「加法や乗法は自然数について閉じている」と表します。恐らく「閉じている」ときは何も不自由がなかったので、この「閉じている」という言葉は、「閉じていない」が先に生まれてそれに対して使われだしたのだと思います。

このようにして、人間は「分数・小数の世界」でも一部を除いては何不自由なく計算できるようになりました。

これで、「除法は分数・小数について閉じている」という状態になって、人間はしばらくは何不自由なく計算をしていました。

※ ちなみに、「一部」とは「0でわること」です。でも、最初は0という数字は誰も考えていませんでした。その後、インドで0が発明された・・・らしいです。

ここまでは「正の数の世界」の話です。

あるとき人間は、「小さい数-大きい数」が計算できないことが気になり出しました。つまり、「減法は(正の)分数・小数について閉じていない」ことが気になって仕方なくなります。

こうして人間は、減法(ひき算)が「大きい数-小さい数」だけでなく、「小さい数-大きい数」も自由にできるように、「負の数」を生み出しました。

このように、数の拡張の歴史を勝手に想像しながら動画教材を見ると、少しは「数の集合と四則」の内容が頭に入るのではないでしょうか?

◆ 負の数の考え方について ◆

余談ですが、2πr(にーぱいあーる)が制作した動画教材の「負の数」は、「数直線上の向きと前進か・後進か」に目を向けて説明しています。これは、恐らくどの教科書にも載っていない説明の仕方だと思います。

これは、2πr(にーぱいあーる)が数直線を使って統合的に正負の計算を説明したいという気持ちが強かったことと、物理学に少し興味があったことに関係があります。

簡単にいうと、「正の数・負の数の計算を数直線という同じ土俵でまるごと説明したいと考えた」からと、「(物理学自体はあまり理解できないでいるのですが)物理学の世界では数量の大きさと向きをどう表現するかが大切だから向きを考える大切さを伝えたいと考えた」から・・・ということになります。

多分、理解に苦しむと思いますので、ここはこの辺でカットです (^^ゞ

ちなみに、最初に負の数を考えた人は、温度計などをイメージして「0より小さい」を「マイナス記号」で表すことからスタートしたのだと思います。

そう考えると、教科書の教え方の方が自然なのかもしれません。

まぁ、その教科書の教え方がしっくりこなかったので、動画教材のような教え方になったのですが・・・ (^_^;)

 

◆ 練習問題が重要 ◆

このテーマは、他のテーマよりも、説明動画の内容を理解するために練習問題動画に何度も取り組むことが大切だと思います。

頭ではなんとなくわかっていることも、いろいろな角度から聞かれると答えられないものです。

このテーマは、特にその傾向が強いのです。

一問一問、納得できるまでじっくり考えてください。

まぁ、いままでそうした姿勢で勉強してきた人は大丈夫だと思いますが (^_-)v

今回は、以上です。

 

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数学動画教材1115_01「テーマ:加減乗除の混じった計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1115_01_加減乗除の混じった計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1115_01_加減乗除の混じった計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 加減乗除の混じった計算とは ◆

加減乗除の混じった計算というとどんな式を想像しますか?

+-×÷の4つがみんな混じっている式を思い浮かべる人もいるでしょうが、実はそうではありません。

この動画教材であつかっている主な計算式を見てみると、

×40÷5  減乗除

×(-2)(-40)÷5  減乗除

×(-40)÷(-5)  減乗除

÷(-3)÷×405  減乗除

(-4)2乗 ÷{3(-5)}  減乗除

※2乗ということは(-4)×(-4)が含まれているから減除ではない。

84×1281×(-2)  加乗

81×{12+(-2)}  乗

となっており、加減乗除のうちのいくつかが混じっていればOKなのです。(加減乗除の記号つまり演算記号は赤太字にしてあります)

一番下の 81×{12+(-2)} は、カッコをひとつの数と考えるので、かけ算のみの式。つまり項がひとつの式なのですが、分配法則を使うと加乗除が混じっている式(すぐ上の式)になるので加減乗除の混じった計算に入れています。

別ないい方をすると、分配法則を逆に利用する計算があるので下2つの式はここのテーマで扱うことにしているということです。

ここらへんを整理してから、学ぶとよいと思います (^_-)v

 

◆ 大切なことは項の数 ◆

説明動画でも繰り返し触れていますが、加減乗除の混じった計算をするときに一番大切なことは「項の数がいくつなのかを判断できる」ことです。

ここがわかっていないと必ずミスをします。

説明動画を見る前でも、見た後でもかまいませんので、下の計算式の項の数をパッと見て判断してみてください。全部あっていればOKです。

そうでなければ、まだまだ修行が足りないということになります (^_^;)

では、いきます。

×40÷

×(-2)(-40)÷

×(-40)÷(-5)

÷(-3)÷×40

(-4)2乗 ÷{3(-5)}

84×1281×(-2)

81×{12+(-2)}

では、答えです。

項と項の間を離してあります。

続きを読む 数学動画教材1115_01「テーマ:加減乗除の混じった計算が正確にできる」について

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数学動画教材1114_01「テーマ:除法と乗法の混じった計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1114_01_除法と乗法の混じった計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1114_01_除法と乗法の混じった計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 最初に逆数?、符号? ◆

今回のテーマのねらいは、「最初に逆数を使うか、それとも最初に符号を決めるか、自分で優先順位を決めることができる」ことです。これができるようになれば、除法と乗法が混じった計算は正確にできるようになります。

具体的には、説明動画教材の最後から2番目のスライドにある「重要」であつかっている問題を例に説明します。

 

(-5/2)×(-7)÷(-5/6) を2通りの方法で解くのですが、

最初の方法は、÷(-5/6)を逆数を使って ×(-6/5)に変えて、乗法だけの式にしてから答えの符号を決めるやり方です。

別解は、最初に答えの符号を決めてから、÷5/6 を、逆数を使って ×6/5 に変えて計算を進めています。

どちらも正しいのですが、あなたならどちらを優先的に利用しますか? その理由は?

 

・・・この答えは、自分なりの理由さえあればどちらでもかまいません。大切なことは「自分なりの理由」があってそれをわかりやすく他人に伝えることができることなのです。

それができる人は、どちらの方法も自由に使える力をもっているからです。

ちなみに、2πr(にーぱいあーる)の意見を紹介します。

 

「わたしは、答えの符号を先に決める方法を優先的に利用します。なぜならば、除法は乗法に直すことができるとわかっているので、÷が入っていても乗法だけの計算と見なしてよいからです。いままで、乗法だけの計算では答えの符号を先に決めることを最優先にして計算しているので、これからも除法と乗法が混じっている計算も同じように計算した方が楽だと思うからです。」

 

どうでしょうか?

2πr(にーぱいあーる)は、逆数を学ぶことは「除法は乗法と同じように扱っていいんだ」というテクニックを説明するために必要で、このことさえ納得できれば、「じゃあ、いいまでの乗法の計算と同じように計算していいんだ」と考えいます。

つまり、2πr(にーぱいあーる)は、『「乗法の計算は答えの符号を先に決める」を除法が混じっていても使っていいということ』が今回のテーマで一番理解して欲しいことだ、と考えているのです。

もちろん、違う考えがあってもかまいません。

実は、説明動画の最後のまとめを見てもらうとわかりますが、2πr(にーぱいあーる)の考えはあえて隠しています。

理由は、このテーマで学んだものは自分で自由に整理して欲しいからです。

どちらの方法でもいいのですから、いろいろ経験していくうちに自分なりの優先方法が決まってくればいいのです。

そうした自分なりの整理整頓が学ぶことの楽しさにつながると思います (^_-)v

 

◆ 逆数について ◆

分数とわり算が同じものであることは、ブログ1110_01「テーマ:分数の加法が正確に計算できる」について で、別な角度から詳しく触れていますが、見ていない人も多いと考えて最初のスライドで軽く触れました。

そして、このことを使って小学校で学んだはずの「わり算は逆数を使ってかけ算に直せる」ことを、あまり見慣れない方法で説明しています。

その理由は、(経験上)ほとんどの人は「逆数は分母分子を入れ替えたもの」程度の記憶しかないと思われるので、逆数の定義(2数をかけて1になるとき一方は他方の逆数という)が突然出されても頭に入りにくいのではないか、と考えたからです。

もしそうであれば、目新しくて頭に入りやすい知識(分数はわり算)と計算に必ず必要な約分や通分の性質を利用して説明した方が効果的なのかな・・・という感じです。

「いや、数学は定義から進めて理路整然とすべきだ」と考えている方も大勢いらっしゃると思いますが、ひとつの考え方だと思っていただければ幸いです m(_ _)m

ちなみに、逆数の定義を扱わないのは問題があるので、中学校レベルの逆数(負の数の逆数)で触れています。

逆数はこれからの計算にはなくてはならないもののひとつです。

それは、練習問題動画に取り組むとわかると思います。

累乗も絡んできて今までの知識も必要です。

ぜひ、スラスラと途中計算が書けて解けるようになってください。

今回は、以上です。

 

数学動画教材1113_01「テーマ:累乗を含む計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1113_01_累乗を含む計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1113_01_累乗を含む計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 累乗計算は、暗算が最終目標 ◆

今回のテーマの本当のねらいは、「累乗の計算を暗算で計算できるようになる」です。

それが、累乗を含む計算を正確に計算するうえで最も大切なことだからです。

特に、次のテーマである

「1114 乗法と除法の混じった計算」

「1115 加減乗除の混じった計算が正確にできる」

では、複雑な計算式の中に累乗が紛れ込んできます。

そのような計算は、累乗計算が暗算でできないと、途中計算がわかりにくいものになってしまいます。

もちろんこの動画教材の中心である「カッコが関わっているときの累乗計算」は注意深く理解する必要があります。最初は、ゆっくりていねいに途中計算を書いて「カッコが関わっているときの累乗計算」に慣れてください。

そして、必要に応じて途中計算を書いたり、省略したりできるようになりましょう。

 

◆ カッコの意味を理解する ◆

「カッコが関わっているときの累乗計算は注意深くする必要がある」といいましたが、そのためには、カッコの意味をよく考えることが必要です。ちなみに、分数の横棒もカッコと考えておくといいと思います。

動画教材をよく見て自分なりのカッコの意味を整理するといいのですが、ここでは簡単にポイントを示しておきます。

指数がカッコの中にあるか、外にあるかに気をつける。

○ 分数の場合、カッコの中に指数があるときは、「分母の累乗計算」なのか、「分子の累乗計算」なのかを明確に判断する。

この2つだけです。

これをしっかり頭に入れて、動画教材に取り組めば大丈夫!

簡単ですが、今回は以上です。

 

p.s.

WordPress では指数表現ができない・・・は無関係です。動画教材に重要なポイントがまとまっているので、簡単な説明になりました m(_ _)m

 

数学動画教材1112_01「テーマ:3つ以上の数の乗法計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1112_01_3つ以上の数の乗法計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1112_01_3つ以上の数の乗法計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 「答えの符号の決め方」が大切 ◆

今回のテーマのねらいは、「3つ以上の数の乗法計算も答えの符号を先に決めて正確することができる」ことです。

実は、除法は逆数で乗法にするこができるので、乗法と除法が混じった式や除法が複数ある式も同様に答えの符号を決めることができます。

これについては、後のテーマで説明します。

動画教材の説明のように、いくつ負の数をかけるかが答えの符号を決めるポイントとなっています。

あとは、乗法にも「交換法則」、「結合法則」が成り立つので、かける順序も数字の順番も自由だということも大切なポイントです。

これらのどれもがパッと浮かぶようになって、何通りかの計算方法が頭に浮かぶようになることが大切です。

その中から一番よい方法を選んで途中計算を書くことができるように、練習に取り組んでください。

もちろん、数直線上の動きで意味を説明できるようになることも忘れずに!

今回は、以上です。

 

数学動画教材1111_01「テーマ:正負の数における乗法の意味が理解できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1111_01_正負の数における乗法の意味が理解できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1111_01_正負の数における乗法の意味が理解できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

 

◆ 乗法・乗法の意味 ◆

今回のテーマのねらいは、「乗法・除法の意味を理解すること」です。

本来、乗法と除法は切っても切れない関係にありますから、乗法と除法の意味を自分なりに納得して理解できることが最も大切なこととなります。(今は、細かいことにはこだわらなくてもよいです)

ちなみに、説明動画の最後の方で突然「積(せき)」という用語を使っています。話の流れから想像できた人もいるかと思いますが、積は「乗法の答え」のことです。加法の答え、減法の答え、乗法の答え、除法の答えをそれぞれ、和、差、積、商といいます。ここは動画教材に載せることを忘れてしまいました (^_^;)

2πr(にーぱいあーる)は、乗法と除法の関係を次のように考えています。

– – – – – – – – – – – – – –

3×2=6は誰もが知っていますから、

「3×◇=6のとき、◇はいくつ?」と聞かれたとき、「2です。」と誰もが答えることができます。

では、「11×◇=123のとき、◇はいくつ?」と聞かれたらどうでしょう?

すぐ答えられる人は少ないのではないでしょうか。

そこで、誰もがすぐ◇を求められる方法を考えました。その方法が除法(わり算)です。

つまり、3×2=6だから3×◇=6のときの◇を求めるために「6わる3(6÷3)」という計算をすればよいと考えたのです。

つまり、◇を求めるために生まれたのが除法ということになります。

ここで、「11×◇=123のとき、◇はいくつ?」に戻ると、

◇=123÷11=13と計算できるので、誰もが「◇は13です」と答えられるようになるということです。

– – – – – – – – – – – – – –

このような関係は、加法と減法にもいえます。

つまり、「2+◇=5」の◇を求めるために生まれたのが減法というこです。

これらのことは小学校でも触れられていると思いますが、どうでしょう?

ちなみに、

「7×◇=3のとき、◇はいくつ?」と聞かれたら、

「◇=3÷7=3/7 です。」と答えることになりますが、

当然、分数という数がなかったら、

誰かが分数をつくっただろうと簡単に想像できる・・・

などと考えていくと、少しは身近に感じませんか ?

・・・無理かもですね (^^ゞ

※ 確かめ 7×3/7=3 OK!

 

◆ 「負の数をかける」意味 ◆

動画教材では、「負の数をかける」とは「向きを変える」ことだと説明しています。

このことをもう少し詳しく説明します。

実は、(+2)×(-3)=-(2×3) は 次のような式がより正確に意味を表しています。

(+2)×(-3)=(+2)×(-1)×3

つまり、「かけるマイナス3」とは「マイナス1をかけて3倍すること」と考えるのです。

そうすると、「マイナス1をかけること」が「向きを変えること」を表しているとわかります。

ですから、正確には「マイナス1をかけることが向きを変えることを表している」ということなのです。

では、

(+2)×(-3)=-(2×3) と表したのは何故かというと、

符号を先に決めて、後は小学校のかけ算をすればいい」ことを理解してほしかったからです。

このように、式にはそれぞれに意味があるので、式の意味をしっかり理解してください。

 

◆ 約分の仕方 ◆

約分の仕方は知っていても、

小学校でわり算が苦手だった人は、答えが分数の形になってから約分を考える人が多いように感じています。

きっと頑張って身につけたのだと思いますが、中学生になったら「途中計算の段階で約分」をしてください。

このやり方が絶対に計算が楽です!

中学校では分数の分母分子が大きな数になることも多いので、最後に約分をすると 、約分もしにくく、ミスも多くなります。

そして、一番理想的なのは「途中計算の段階で約分して、最後にさらに約分できないか確かめる」という姿勢を持つことなのです。

ですから、いまのうちに途中計算の段階で約分ができるようになりましょう。

もちろん、「答えの符号を先に決める」を確実に身につけることが最も大切です!

今回は、以上です。

 

数学動画教材1110_01「テーマ:分数の加法が正確に計算できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1110_01_分数の加法が正確に計算できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1110_01_分数の加法が正確に計算できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

これで計算力は十分

今回のテーマのねらいは、「分数の加法計算を通して今までの計算を確実に身につけてほしい」ということです。

分数の加法計算と書きましたが、「見た目が減法」でも、「項を並べた式とカッコのある式が混じった式」でも、最終的には「項を並べた式」つまり加法として計算するので、結局は分数の加法計算がすらすらできるようになればすべてOKということです。

そして、分数の加法計算には今まで習ってきた計算テクニックが必要になります。つまり、分数の加法計算が正確にできれば、今まで習った計算テクニックが身についているといってもいいのです。

逆にいえば、分数の加法計算ができるように努力すれば、今まで習った計算テクニックがすべてできるようになるということです。

分数の加法計算が正確にできれば、計算力は申し分ありません。計算が得意な人は「速く正確に」を目標に、計算が苦手な人は「正確に」を目標に、確実に答えが出せるように練習してください。

今回の動画教材では、

分数の計算では小学校で習った通分と約分は避けて通れませんから、最初にその確認をしました。しかし、機械的に思い出すだけでは意味がないので、分数の意味と性質を簡単に説明しました。

分数の意味といってもあまり堅苦しい説明だと直感的に理解できないので、動画教材では「分数は、1をいくつに分けた何個分なのかを表す数字」のように説明をしています。

これを、「分数とは、整数 a 0 ではない整数 b でわった答えを a /b で表したもので、わり算を表しているともいえる。 また、0 ではない整数 b でわるということは、0でわることは考えないということ。下の整数 b を分母、上に整数 a を分子という・・・」などと説明したら、見るのやめますよね (^_^;

それに、小学校でどの程度習っているのかも人によって違うでしょうから・・・

しかし、「0で割ることは考えない」という点はとても重要で、後で必ず役に立ちますから覚えておきましょう。

また、「分数はわり算(除法)を表している」ということも、あわせて覚えておくべきことです。

これらについては、これからの計算にも必要なことなので、次の段落で少しくわしく説明します。

 

◆ 0でわること ◆

なぜ「0でわることは考えない」のかは、次のように考えると理解できます。

まず、わり算(除法)の意味を考えましょう。

 

6÷2=3 は、「○が6あるとき、2ずつ分けると何グループできますか? 3 です。」という意味になります。

○○○○○○ ÷ ○○ = ○○、○○、○○の3グループ

 

このことを理解したうえで、わる数を、6、3、2、1、0.5、0.1、と小さくしてみます。

 

6÷6=1 は、「○が6あるとき、6ずつ分けると何グループできますか? 1です。」

○○○○○○ ÷ ○○○○○○ = ○○○○○○の1グループ

6÷3=2 は、「○が6あるとき、3ずつ分けると何グループできますか? 2です。」

○○○○○○ ÷ ○○○ = ○○○、○○○の2グループ

6÷2=3 は、「○が6あるとき、2ずつ分けると何グループできますか? 3です。」

○○○○○○ ÷ ○○ = ○○、○○、○○の3グループ

6÷1=6 は、「○が6あるとき、1ずつ分けると何グループできますか? 6です。」

○○○○○○ ÷ ○ = ○、○、○、○、○、○の6グループ

 

次は、「わる0.5」 つまり 「わる2分の1」 です。

答えは、6÷0.5=12 になりますが、その意味は、

「○が6あるとき、0.5ずつ分けると何グループできますか?」

「1の中には0.5が2グループできるので、6の中には12です。」

 

 

最後に、「わる0.1」 つまり 「わる10分の1」 です。

答えは、6÷0.1=60 になりますが、その意味は、

「○が6あるとき、0.1ずつ分けると何グループできますか?」

「1の中には0.1が10グループできるので、6の中には60です。」

 

どうでしょう? 当然ながら、わる数が小さくなればなるほど、6の中にはわる数がたくさん入っていることになります。つまり、できるグループ数が多くなります。

ということは、わる数が0に近づけば近づくほど、答えは非常に大きな数になることがわかります。

最終的には、答えは数字ではなく、無限大(infinity )としてごまかすしかなくなります。

こう考えると、0でわるということは答えはが出せないという結論になってしまいます。

だから「0でわることは考えない」というきまりになったと理解しておいてください (^_^)v

 

◆ 分数はわり算 ◆

分数はわり算(除法)を表している」ということは、次のように考えて理解してください。

 

6÷2は3になります。6/2(2分の6)も3になります。

6÷3は2になります。6/3(3分の6)も2になります。

6÷1は6になります。6/1(1分の6)も6になります。

6÷6は1になります。6/6(6分の6)も1になります。

 

このように、「分子÷分母」と「(分母)分の(分子)」は同じ計算をあわらしています。

つまり、どちらもわり算(除法)の表し方のひとつなのです。

ちなみに、この他に同じような意味を持つ表現には「割合を表す比」があります。

6:1は、6/1 と同じ。つまり、6÷1と同じ。

6:2は、6/2 と同じ。つまり、6÷2と同じ。

6:3は、6/3 と同じ。つまり、6÷3と同じ。

6:6は、6/6 と同じ。つまり、6÷6と同じ。

・・・ということです。

 

どうでしょう?

分数はわり算(除法)を表している」ということが納得できましたか?

あとは、「わり算(除法)が、分子÷分母 」であることを間違えないようにしてください。慣れない人は、よく逆に考えることがあります。

順序を忘れたら、「6:2は、6/2 と同じ。つまり、6÷2と同じ。」を思い浮かべて、「分子÷分母 」であることを思い出してください。

 

◆ 比:と ÷ の関係 ◆

6:1は、6/1 と同じ。つまり、6÷1と同じ。

6:2は、6/2 と同じ。つまり、6÷2と同じ。

6:3は、6/3 と同じ。つまり、6÷3と同じ。

6:6は、6/6 と同じ。つまり、6÷6と同じ。

・・・を見て、

「分数はわり算(除法)を表している」以外になにか気づきませんか?

 

実は、比の記号 : に、横棒を入れると、わり算(除法)の記号 ÷ になっています。

 

恐らく、歴史的には比や分数が先に考え出されて、その計算を表す新しい記号として ÷ が生まれたのではないかと、2πr(にーぱいあーる)は勝手に考えています。まったく別の由来もあるようですし、調べていないので確証はありませんが ・・・ m(_ _)m

でも、図のように分数から ÷ の記号が生まれたと考えるのは妥当だと考えています。

 

 

参考までに、次の3つの式を見比べてください。

 

18÷3=6÷1=6

18/3=6/1=6

18:3=6:1 比の値

比の値とは「記号:の右側の数字を基準に、記号:の左側の数字はその何倍なのかを表す数字」です。

どれも意味は同じです。

 

◆ 世界のわり算 ◆

話は少しそれるのですが、

日本は、なぜ18÷3=6÷1=6 の表現方法を採用したのでしょう。

「そもそも÷しか入ってこなかった?」

「÷を使った方が縦書きにも横書きにも使えると考えた?」

本当の理由はわかりませんが、÷ は世界ではほとんど使われていない記号であることは事実のようです。

ですから、「分数はわり算(除法)と同じ」ということは常に意識しておくとよいと思います。

特に、文字式を習うと ÷ を分数で表すきまりが出てきますし、実際に分数をわり算(除法)と考えることも多くなります。

インターネットで調べた限りでは、世界の多くの国々では、わり算(除法)を表すために、18/3=6/1=6 や 18:3=6:1 の表現方法を採用しているようです。

記号 ÷ を使っているのはイギリスとアメリカくらいのようです。しかし、アメリカで ÷ を見たことがないという人もいるようなので、本当のところはわかりません。

外国の人に会ったら、ぜひ質問してみてください。意外な事実が見えてくると思います。

ちなみに、数学などに関する備忘録というインターネット上のページには、スウェーデンあたりでは昔、マイナス記号の代わりに ÷ を使っていたこともあると記述されていました。

また、ウィキペディアでは次のような興味深い文章がありました。

ポーランド語などで、「÷」は範囲を示すのに使われていた。「:」にも同様の意味があり、たとえば「10÷20」や「10:20」は「10から20まで」を意味する。現在では自然言語ではあまり使われないが、Excelのセル範囲指定で「:」が使われる。

このように調べていくと、所詮(しょせん)数学で使われる記号は人間がつくったもので、つくった人やつくられた地域、その歴史などで、いろいろな記号が生まれ、いろいろな使い方がされている、ということがわかります。

まあ、これからは、わり算(除法)の記号は「/(スラッシュ)」、かけ算(乗法)の記号は「*(アスタリスク)」が世界共通になるかもしれません。

なぜならば、電卓やパソコンのキーボードに「÷」や「×」はないからです。あるのは「/」と「*」だけですから。

 

◆ 大切な計算はひとつ ◆

話を本題に戻します。

練習問題動画では、中学校で学ぶ分数の加法計算を4つの問題をもとに説明しています。

しかし、押さえるべき大切な計算はひとつだけです。それは,説明動画の最終問題である (-3/2)+(+1/4) です。

なぜならば、

項を並べた式に直して通分するテクニック

を使えば1,2番目の問題と共通ですし、

最初に同符号・異符号の2数の和を使うテクニック

も扱いやすい問題だからです。

この問題を2つのテクニックを使って解ければ、ここでのポイントはすべて押さえたことになります。

 

あと、間違えやすいのは「分数の横棒がカッコの代わり」ということでしょう。

写真のように、分子の項が 6 と -1 の2つあるときに分数を使う場合は、分子の6-1 を(  )で囲む必要はありません。分数の横棒がカッコの役割をしているからです。

数学の世界では、同じ意味をもつ2つの表現を2つ同時に使うと意味が変わることがあります。また、できるだけ簡単に表す必要があります。こうした理由から、分数の横棒がカッコの役割をしているので、さらに分子をカッコで囲むことはしないのです。

カッコをつけると間違いと判定されることもあるので、注意してください。

 

ちなみに、

スラッシュを使ってこの式を表すときは、カッコが必要になり、-(6-1)/4 と書きます。そして、この式は(-6+1)/4と表すこともできます。

これは、どちらも -5/4になることから納得できると思います。

カッコをつけずに -6-1/4 と書くと、「/4」は-1にだけ影響して(-6)+(-1/4)の意味になります。-6 と -1/4  は別々な項になることに注意してください。

このように、カッコの使い方は実はとても注意が必要です。

ついでに書いておくと、(-6-1)/4と-(6-1)/4はちがいます。

(-6-1)/4は-7/4、-(6-1)/4は-5/4となるからです。

カッコのつけ方がちょっと違うだけで全く違う式になりますね。

 

◆ 練習問題の補足 ◆

練習問題1.は、2通りの計算が正確にできることを目的につくりました。

 

 

 

 

 

練習問題2.は、項が3つの場合にも正確に計算できることを目的につくりました。

 

 

 

 

 

 

あとは、細かなテクニックが理解できるように解説を書きました。

細かなテクニックは、次の3つです。

① 「項を並べた式にして計算」が原則

分数や小数があっても、いままでと同様に「項を並べた式に直す」ことが一番のテクニック。

② 途中計算のテクニック

途中計算は、ミスをしないために必要ですが、相手に自分の考えを伝えるためにも書きます。しかし、分数の加法計算ともなると、基礎的な計算は暗算でやって途中計算に書かない方が、相手も自分も見やすくなります。だらだら長いだけの文章を、簡潔な文章にする方が好まれるのと同じです。

どの程度の途中計算を書けるようになればいいかについて、何ヶ所かで触れています。それらを参考に、自分にとっての理想の途中計算をノートにまとめてみるとよいと思います。

③ 整数や小数が混じっているときのテクニック

整数も小数も、「1分の~」という分数になることを利用して、全部分数にしてから計算する。

 

これらのテクニックを意識して、何度も練習してください。

問題を見たらスラスラと途中計算が書けるようになれば、このテーマは卒業です。

 

今回は、以上です。

 

数学動画教材1109_01「テーマ:項を並べた式に直して速く正確に計算できる」について

◆ はじめに ◆

最初にお詫びをしなければなりません。動画教材のタイトル画像で、テーマが「項を並べた式に直して素早く正確に計算できる」とありますが、「素早く」は「速く」の間違いです。「正確」とセットなら「速く正確」だろうということで、「速く」を使うことにしました。混乱させて申し訳ありません。最初に動画教材を制作したときにタイトル画像の修正を忘れていました (^^ゞ

ちなみに、「素早く」と「素速く」では「素早く」が一般的に使われているようですが、ここでは「素速く」を使っています。

今回は、数学動画教材1109_01「テーマ:項を並べた式に直して速く正確に計算できる」の内容について少し詳しく説明します。

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1109_01_項を並べた式に直して速く計算できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1109_01_項を並べた式に直して速く計算できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

項を並べた式に素速く直すことに慣れよう

今回のテーマのねらいは、「項を並べた式に素速く直すことに慣れる」です。これさえ身につけば、速く正確に計算することができるようになります。

多くの人は、「項」や「項を並べた式」を理解していても、いざ計算となると項を並べた式に直さず計算しようとしたり、項を並べた式に直そうとしても正確に直せなかったりして、計算を間違えたり、時間がかかってしまうようです。

また、項を並べた式に直してしまえば、ほとんどの人が「同符号・異符号の2数の和」を使って答えを出すことができるようです。(このシリーズでは、そのために練習をやってきました)

このように考えていくと、速く正確に答えを出すためには、いかに速く正確に項を並べた式に直せるかが大切だということになります。

ぜひ、素速く正確に項を並べた式に直せるようになってください。

動画教材でも触れていますが、このテーマでは新しく学ぶことは何もありません。ですから、今お話ししたことを常に頭に入れて練習問題に取り組んでください。

 

◆ 途中計算はとても大切です ◆

項を並べた式に速く正確に直すことが重要だと書きましたが、ただ、頭で意識しているだけではなかなか身につきません。ですから、途中計算には必ず項を並べた式を書いてください

 

説明動画の後半では、「項を並べた式とカッコのある式が混じった式」では「たし算に直す途中計算」は無理に書かなくてもよいことに触れています。

これは、「もうそろそろ暗算で項が並べる式に直せるようになったはずですよね」という意味が込められています。

 

みなさんは、3-5=-2 を計算するとき途中計算を書きますか?

ほとんどの人は暗算で答えを出すはずです。(たとえ「同符号・異符号の2数の和」を使えない人でも・・・)

つまり、このテーマを勉強している段階の皆さんは、すでに「同符号・異符号の2数の和」の計算は余裕で暗算できなければならない段階にいるということです。

 

同じように、今は、そろそろ暗算で項が並べる式に直せるようになる段階ということです。

 

以上のことから、今は、項を並べた式に速く正確に直すことに慣れるために途中計算を書く段階だと考えて練習しましょう。その意味で、途中計算はとても大切なのです。

もちろん、忘れたり、自信がないときは、ていねいに途中計算を書くことは大切です。また、あいている場所にメモ程度の計算をしながら途中計算を書いてもいいと思います。そして、徐々に速く正確に計算ができるようになってください。

 

◆ 小数の加法にも慣れよう! ◆

練習問題の (9) では、解説に 2.22.3=+(2.32.2)0.1 という途中計算があります。この途中計算は、「異符号の2数の和は、絶対値の大きい方の符号に絶対の差で計算できる」ことを使って書かれています。

同符号・異符号の2数の和は基本的には簡単なのですが、小数や分数になると急に難しく感じる人が多くなるようです。

しかし、小数の加法計算は、整数の場合と全く同じです。ですから、この機会に小数でも暗算で加法計算ができるくらいに練習してください。

小数の計算が苦手な人は、小学校のノートや問題集を調べたり、周囲の人に聞いて、今のうちに小数の加法計算ができるようになりましょう。

分数の加法計算については少し難しい計算があるので、次のテーマで詳しく説明します。

 

今回は以上です。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

数学動画教材1108_01「テーマ:項を並べた式のよさが理解できる」について

◆ はじめに ◆

今回は、数学動画教材1108_01「テーマ:項を並べた式のよさが理解できる」の内容について少し詳しく説明します。

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1108_01_項を並べた式のよさが理解できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1108_01_項を並べた式のよさが理解できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

項を並べた式のよさ

今回のテーマのねらいは、「項を並べた式はこんな理由で便利なんだ」と納得してもらうことです。「項を並べた式のよさ」については、動画教材で詳しく説明しています。納得するまで説明動画のスライドをじっくり見てください。

 

 

 

 

 

ここでは、この動画教材のポイントをもう一度確認します。

最も大切なことは、「たとえひき算に見えても加法なのだからいろいろ工夫ができる」ということが便利だと感じてもらえるかどうかです。

そのために、いろいろな例を説明しました。

そして、その工夫が「加法の性質」があるからできるということを理解してもらうことも大きなポイントです。

「加法の交換法則」、「加法の結合法則」は用語としても重要ですが、これらを使うと「3つ以上の数の加法は自由に2つの数を選んでから計算してもよい」という性質が生まれることが最も重要です。

これは、「項が並んだ式は、自由に順番を入れ替えてもよい」という性質といってもかまいません。

この性質があるからこそ、動画教材で紹介したような工夫ができるのです。

そして、この自由さはひき算にはありません!

ちなみに、乗法(かけ算)にも交換法則と結合法則があるので、必ず「加法の~法則」といいましょう。

乗法にも加法と同じような自由さがあります。このことについてはもう少し後のテーマでお話しします。もちろん、除法(わり算)には乗法のような自由さはありません (^^ゞ

項を並べた式の自由さがあるから「計算が楽になる」と感じるかどうかは、人によって違うと思います。

そこで、説明動画の最後のスライドでは「項を並べた式の方が工夫して計算できることはわかるでしょ?」と言い直しています。

ここには、今は感じなくてもいいが、どんどん計算をしていくうちに計算が楽になることを感じてくれるばすだ、という気持ちが込められています。

とりあえず今は、計算するときに少しでも楽になるように工夫してみてください。そうして、余裕がでてくる頃には「計算が楽になる」ことが実感できると思います。

 

◆ 項はカードと考える! ◆

「項を並べた式」には、「自由に順番を入れ替えてよい」、「どの数から計算してもよい」という性質があることについて、もう少し詳しく見てみます。

説明動画に 1+3+5 の計算を例に、自由に2つの数を選んで最初の計算をしてよいことを説明するスライドがあります。

左側の

1+3+5

=4+5

=9

は、左側から計算する原則にしたがって計算して、1と3を先に計算してよいことを表しています。

真ん中の

1+3+5

=1+5+3

=6+3

=9

は、加法の交換法則を1回使って3と5を交換できることから、1と5を先に計算してよいことを表しています。

右側の

1+3+5

=3+1+5

=3+5+1

=8+1

=9

は、2回加法の交換法則を使っています。

1回目は1と3を交換し、2回目は1と5を交換して、3+5+1 の式に変身できることから、3と5を先に計算してもよいことを表しています。

このように、場合分けをして考えることで、 1+3+5 は、1と3を先に計算しても、1と5を先に計算しても、3と5を先に計算してもよいことがわかるのです。そして、結果的に「1と3と5のどの2つの数から計算してもよい=自由」ということになります。

そして、くどいようですが、交換法則を使うと 1.3.5 の順番は自由に入れ替えてもいいことがわかります。

まるで、数字を書いたカードを並べて、そのカードを入れ替えている感じです。

これが「項を並べた式」のすばらしいところです。

項」をカードと考えて自由に順番を入れ替えるイメージを持つと、これからの計算にとても役立ちます。ぜひこうしたイメージを持ってください。

イメージを持ってもらうために、1108練習問題動画の2.(4)の問題を使って オマケ動画を制作しました。お遊び程度の簡単なものですが、見てやってください (^_^)v

 

 

◆ 本当のテクニック ◆

「項を並べた式」で楽をして計算しようとするときに、多少なりともテクニックがあります。

動画教材でも触れていますが、整理してみましょう。

一つ目のテクニックは、練習問題動画のほとんどの問題に使われている

◎「異符号の和」よりも「同符号の和」を先に計算する

というテクニックです。

ほとんどの人は「同符号の和」の方が計算が楽だと感じていることから、このようなテクニックがあります。

もちろん、「異符号の和」の方が計算が楽と感じている人は、「異符号の和」を先に計算してかまいません。

二つ目のテクニックは、

◎ 計算して 0 になるものを探す

というものです。

1.(1),(2) や 2.(1),(2) で使われています。

2.(4)

-4+2-5+3

の別解でも使われています。これは上級者向けテクニックなので詳しく見てみましょう。

ポイントは、「+2と+3で+5、これと-5を計算すると0になる!」ことに気づく・・・ことではありません。

本当のポイントは、

頭の中で、たくさんの計算方法を考えて比べることができる」ことです。

-4+2-5+3

=-4-5+2+3

=-9+5

=-4

とした方が楽か?

-4+2-5+3

=-4-5+2+3

=-4+5+5

=-4+0

=-4

とした方が楽か?

-4+2-5+3

=-2-2

=-4

とやるのも楽かも・・・

と、いろいろな計算方法を思い浮かべながら、どれを選択するか決めることができることが本当テクニックだと思います。

このテクニックは、影のテクニックといったところでとしょうか。

 

 

最後に、もうひとつテクニックを紹介します。

これは好き嫌いがあるので無理におすすめはしません。「こんなテクニックもあるんだ」程度に聞いておいてください。

では、そのテクニックとはこんな感じです。

◎ 計算して10や-10などの後の計算が楽になりそうな数字を選ぶ

どうでしょう?

ピンときましたか?

1.(5),(6) や 2.(5),(6) などがその例です。

2.(5) 8-99+9 では、

「-99+9を先に計算して、8-90を計算した方が、8-99を先に計算して-91+9を計算するよりも楽だ」と考えているということです。

あなたはどう考えますか?

 

以上、3つの◎テクニックを紹介しましたが、いろいろな計算方法を考えて途中計算を決めることこそが「本当のテクニック(影のテクニック)」です。

この「本当のテクニック」こそがとても大切なので、「頭の中で、どんな工夫がより楽なのかを比べられることが大切」という文章を、3枚ものスライドに入れたのです。

 

以上のことを意識して、しっかり計算練習をしましょう。

頑張ればきっとスラスラできるようになります。もちろん、計算も楽になります!

 

今回は、以上です。