数学動画教材1202_01「テーマ:文字式の表し方のきまりが理解できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1202_01_文字式の表し方のきまりが理解できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1202_01_文字式の表し方のきまりが理解できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1202_02_文字式の表し方のきまりが理解できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1202_03_文字式の表し方のきまりが理解できる_フラッシュトレーニング_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1202_04_文字式の表し方のきまりが理解できる_フラッシュトレーニング_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 「簡単に表す」が大切な理由  ◆

数式をできるだけ簡単に表すことは、伝える側にとっても、受け取る側にとってもよいことです。

伝える側にとっては、時間と鉛筆(ボーペンのインク・・・)の節約になります。なによりも、ごちゃごちゃした式よりもスッキリした式の方が頭を整理しやすくなります。

受け取る側にとっては、

-1×(2×A)×(2×A) よりも -(2A)² と書いてあった方が見やすいですよね?

だから、「見ただけで何が書いてあるかわかりやすくなる(伝わりやすくなる)」といえます。当然、受け取る側にとっても時間の節約にもなります。

これらのことは、数式が複雑になればなるほど実感できます。

想像してみてください。×÷の省略なしに、先頭項の正の符号や加法の記号+(たす)の省略なしに、つまり「項を並べた式」を使わずに、複雑な式が書かれている世界を・・・

どうでしょう?

「文字式を簡単に表す」ことの大切さがわかってもらえたでしょうか。

◆ 「簡単に表す」のポイント  ◆

式をただ簡単に表せばよいというわけではありません。一番大切なことは「省略しても、元(もと)の式が確実に相手に伝わる」という点です。

別な言葉でいえば「誰が見ても、同じ元の数式が浮かぶ」という当たり前のことが最も大切なポイントです。

簡単に表された数式が見る相手によっていろいろな数式が浮かぶような省略ルールきまりのこと)では、混乱して、無駄な時間が増えるだけです。

このような理由から、数学は「しっかりしたルール」をつくって、その「しっかりしたルール」をみんなで学ぶことが大切になるのです。

ですから、このテーマの動画教材を学ぶときには「本当に誰が見ても、元の数式が浮かぶようになっている?」、「別な式と思われることはない?」という見方で、チェックしながら学ぶことが本当のポイントになります。

それと、分数やカッコが関わる数式はややこしいので、できるだけ詳しく解説したつもりです。このことについてはいろいろな場面で繰り返し触れているので、本当のポイントを忘れずに学ぶことをおすすめします (^_-)v

◆ フラッシュトレーニングのすすめ ◆

文字式の表し方のきまりをしっかり身につけるために、フラッシュトレーニングをおすすめします。

2πr(にーぱいあーる)が現役数学教師だったころ、フラッシュトレーニング用のパワーポイント教材をプロジェクタで黒板等に投影して、考える時間を5秒程度に決めて「先生がハイッといったら、生徒が大声で答えをいう」という形式で実践したことがあります。

クラスの雰囲気にもよりますが、テンポよく進めるとおおむねうまくいきます。もちろん、ひとりで学習するときでもできます。

「1202_03_文字式の表し方のきまりが理解できる_フラッシュトレーニング」も「1202_04_文字式の表し方のきまりが理解できる_フラッシュトレーニング」も、考える時間は5秒として制作しましたが、ひとりひとりの状況に合わせて考える時間をきめてかまいません。

動画教材の場合は一時停止を利用することになりますが、パワーポイント教材ならばそこらへんは自由自在です。

興味がある人は自作してみてはいかがでしょうか?

ちなみに、動画教材の元になっている2πr(にーぱいあーる)が制作したパワーポイント教材は、いまのところ公開する予定はありません m(_ _)m

今回は、以上です。

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数学動画教材1201_01「テーマ:文字式を簡単に表す必要性が理解できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1201_01_文字式を簡単に表す必要性が理解できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク なし

◆ 産みの苦しみ ◆

最初に、この段落で話す内容は、中学校数学を学びたい人向けではなく、中学校数学を教えたい人向けとなります。中学校数学を学びたい人は、この段落は抜かしてかまいません。

文字式の単元では、文字式の簡単な表し方、文字式の持つ意味などが確実に理解・定着することが大切だと考えています。しかし、中学1年生に「a+5 は計算できると思いますか ?」と質問をすると、

「できる。最初の+(プラス)と中の+(たす)は書かないから5aになる。」

「できる。aを1×aと考えたものだから1+5で6になる。」

といった教師の立場ではあり得ないような意見がでてきます。

この意見をもとに話しあわせることも授業としてはおもしろいのですが、決められた時間内に正しい結論まで導くのは難しいと感じています。

そもそも、授業内容の質的な取捨選択も含めて議論される授業時数と指導内容量の問題を考えると、実質はある程度の教え込みに頼らざる得ないのが教育環境の実態です。もちろん、素晴らしい実践が散見されるであろうことは否定しませんが・・・

このようなことを踏まえ、ある意味あり得ないような意見がでてこないような説明ができないかと考えて一番最初に制作したのが動画教材「a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算」でした。

この動画教材を一番最初に制作した理由は単純です。この単元を教えることを考えたときに「一番最初に浮かんだ内容」だからです。一番気になっていたことだからです。

こうして、この動画教材を軸にどのような流れで第2章「文字式」の説明を進めていくべきかを考えました。この動画教材が無理なく理解してもらえるために何が必要なのかを考えながら、他の動画教材を付け加え、修正していきました。

その結果が、1201~1205までの一連の動画教材です。

したがって、これらの動画教材は番号順につくられてはいません。

最初に「a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算」と「a+5の意味が理解できる」が順に制作され、次に「文字式の表し方のきまりが理解できる」が加わりました。

そして、2πr(にーぱいあーる)が考える最も基本的なポイントが理解されないまま「a+5とa+5aの違いが理解できる_同類項の加法計算」に入ってしまうと、中学校数学の教科書とさほど変わらないと考えて追加されたのが、「1201_01_文字式を簡単に表す必要性が理解できる」です。

その後は、「フラッシュトレーニング動画教材」や「1205_01_同類項の加法計算が正確に計算できる」を付け加えました。その他に、式の値など脇を固める知識をどこに入れようか考えて動画教材を手直ししました。

まぁ、あまりいろいろやったので、自分でも詳しくそれらの経緯を説明できません。こういうのを産みの苦しみとでもいうのでしょうか (^^ゞ

いろいろ試行錯誤して一連の動画教材をつくったものの、自分の意図にそった動画教材になったのかは、はっきりいってわかりません。中学校教師時代にも試行錯誤しながら説明の順番を考えたり、説明の仕方を手直ししてきましたが、暗中模索の繰り返しでした。そこら辺は退職した今も変わっていないということですね (^_^;)

このようなサイトを運営して動画教材を製作しているのは、よりよいものに近づいているのかどうかが少しは見えてくることを期待してなのかもしれません。

そこでお願いです。無理にとはいいませんが、気長にやっているので、感じたことがあれば各テーマのブログにコメントをお願いします m(_ _)m

ちなみに、教え方に関する評価は、教える側の要素もありますが、それよりも教えられる集団の特徴や教える人と教えられる人の関係などにも依存することが多いと感じているので、定量的に行うのはなかなか難しいと考えています。

このような評価は直感を大切にすべきなのかなと、2πr(にーぱいあーる)は考えています。人間は直感で判断してそれを繰り返すことで論理的な判断に近づくことができる動物なのかもしれません。

具体的にいえば、研究授業を参観して協議会をやるよりも、気軽に他人の授業を見て刺激をもらうことの方が教える力を向上させるのかもしれないということです。もちろん、研究授業と研究協議会の必要性も認めるのですが、ブラックな環境の中で形式的に行う弊害の方が大きいのかなと・・・

ですから、直感でコメントを書いてもらっても何の問題もありません・・・「論理的な思考ができるようになることと発想力がつくことが数学の本当の目的」に反するのかもしれませんが (^_^;)

◆ 練習問題動画がない理由 ◆

このテーマ1201には練習問題動画がありません。その理由は、最初に1202~1204の動画教材ができていて、「これでは何かたりない」「もっと伝えたいことはないか」と考えて追加した内容だからです。

この動画で理解してもらいたいことは、「中学校で学ぶ文字式はなかなか複雑な式なんだ」ということです。

だからこそ、

「項を並べた式の考え方はとても大切なんだ」と気づいて欲しいのです。

だからこそ、

「これから学ぶ文字式の表し方は、とても大切な内容なんだ」と理解して欲しいのです。

それらが理解されることで、皆さんはこれからのテーマをより積極的に学んでくれるのではないかと期待しています。

最初は簡単だと感じる人も、内容が深まるにしたがって混乱してくるものです。そうしたときには、何よりも原点に立ち戻って理由を探してみてください。そうすることで、きっと「本当に理解できる」ようになります。

繰り返し、繰り返し、「なぜ?」と考えてください。・・・「なるほど!」を見つけるときっと楽しくなります。

◆ ここで油断すると危ない! ◆

文字式を簡単に表すことの大切さについては動画教材でも詳しく説明していますが、少し内容を付け加えます。

3年生の2次方程式という単元ででてくる「(2x)2乗 -3x -1」という式を、かけ算の記号×やたし算の記号+(たす)を省略せずに書くと、「(+2×)×(+2×) (-3×)(-1)」となります。

この式は動画教材でも取り上げましたが、実は1年生ででてくる文字式にもなかなかややこしいものがあります。

例えば、「(-2x-5)-(6-2x)」のような式がもうすぐでてきますが、この式をかけ算の記号×やたし算の記号+(たす)を省略せずに書くと、「(+2×)+(-5)}{(+6)+(-2×x)」となります。

もっと、詳しく書くと

(+2×)+(-5)}  [{(+6)+(-2×x)}]  」となります。

なかなかややこしいでしょ?

この他にも、もうすぐ現れる分数の文字式などもなかなかです。

こうして考えていくと、文字式の表し方に慣れるには「ゆっくりではダメ」なのです。これから学ぶひとつひとつのテーマを確実に理解して、すぐ思い浮かぶように必死でトレーニングする必要があります。

「中1ギャップ」という言葉を聞いたことがありますか? 2πr(にーぱいあーる)が現役の教師時代にはいろいろな場面で「小学生が中学生になったとき、学校生活や授業のやり方が今までとまったく違うため、いろいろついていけなくなる」というような意味で使われていたのですが、詳しいことは忘れました (^_^;)

とにかく、中学校数学での「中1ギャップ」がどこで起きるかといえば、2πr(にーぱいあーる)は「文字式の単元」と答えます。

「文字式の内容をしっかり身につけていないために、中学校数学についてこられない生徒が多い」と2πr(にーぱいあーる)は感じていました。最初のうちは授業の内容がわかっていても、ある授業からは突然意味が理解できなくなる生徒をよく見たからです。

きっとその原因は、「本当に理解されていない」ことと、「すぐ思い出されるまで身につけていない」ことからきているのだと思います。もっといえば、授業では何となくわかっても練習問題を繰り返して理解を深めながら身につける努力を十分にしなかったからだと思います。(完璧を求める必要はありませんが・・・)

時間がないならば、少しでも時間をつくってみてください。他の教科とのバランスも考える必要がありますが、人間はみんな1日24時間しか持っていません。

ここで油断してはいけません!

という気持ちで頑張ってください。今回は、以上です。

 

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数学動画教材1117_01「テーマ:学んだことを使って文章問題を解くことができる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 文章問題は宝の山 ◆

「正の数・負の数」の単元では、はじめて負の数について正式に学び、負の数を含めたすべての数で加減乗除の意味や四則の混じった計算の仕方を身につけてきたと思います。

ここで扱う文章問題は、すべて「正の数・負の数」で学んだことを使わなければできない問題です。言い換えれば、ここで扱う文章問題をすべて解けるようになれば「正の数・負の数」で学んだことはうまく使えるようになっているということになります。

同じようなことを何度も書いているのですが、数学は積み重ねの学問なので難しい問題が解けることはそれまで学んだことが身についていることを示すことになるのです。

そのように考えると、ここで扱う文章問題は宝の山といえるのではないでしょうか。

積み重ねてきた知識や計算力は宝物です。せっかくの宝物をうまく使えるようになってください。

動画教材でお話ししたように、気軽に考えて取り組むのが一番です。

ここで扱う問題だけでなく、積極的に問題集などの問題にも取り組みましょう \(^_^)/

◆ 例1は項がポイント ◆

スライドをよく見てもらえればそれでいいのですが、この単元のまとめにもなるので少しだけ解説を付け加えます。

例1の問題は、「項を理解しているか」を確認する問題です。

動画教材1107_01では、「項とは加法の記号+(たす)でつながれている数字や文字のこ」だと説明しました。このことから、項を考えるときには、「ひき算があればまずたし算に直してから考える」というテクニックが頭に浮かぶ必要があります。

これが一番大切なポイントです。これがわかっている人は、7-3+(-5)の7と-3の間には見えないたし算記号+(たす)が隠れているとすぐわかるはずです。

このとき、7ひく3と読んだ人がいて「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)だから項は7と-3だ」と考えてもかまいません。

これら2つの考え方がすぐ頭に浮かぶ人は、なかなかの実力者ということになります。

もちろん、「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)」が浮かぶということは、「減法は引く数の符号を変えて加法に直せる」ことが身についているということになります。

 

◆ 例2は暗算がポイント ◆

例2は、「A+(-1)+0の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探す問題です。

A+(-1)+0を簡単にするとA+1となるので、この問題は「A+1の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探せばよいことになります。

これなら、「Aにいろいろな数をあてはめてみて暗算 → 答えが-3になる数を探す」という作業をすればよいことになります。

そう考えると、この問題は「とにかくAにいろいろな数をあてはめて答えが-3になるかどうか確かめる」ことが最も重要だとわかります。

つまり、この問題は「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」があるかどうかを確かめる問題といえるのです。

暗算力はとても大切な力です。まだ自信がないという人は、動画教材1106_01にもう一度取り組んでみてください。その方がよくわからない問題に時間を取られるよりもはるかに効率的です (^_-)v

また、この問題が速く正確に解けるようになると、この後で学ぶ「1次方程式」という単元が理解しやすくなります。今は知らなくてよいのですが、そういうよい効果もあるので是非頑張ってください。

 

◆ 例3も暗算がポイント ◆

例3は、いわゆる「魔方陣」という問題です。この問題のポイントも「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」です。

解説をよく見てもらえればよいのですが、例2でやった計算をもっと数多くする問題だからです。

また、「一番最初に3つの数の和がいくつなのかを求める」ことがこの問題のスタートになります。例3の場合は「右上がり斜めの3つの数がそろている」ことに気づくことがポイントです。

ここら辺は、問題文と解説文をよ~く読んで問題の意図を理解できていることがカギになります。

このように、文章問題は「問題の意図を理解する国語の力」が大切になります。

国語も頑張りましょう!

 

◆ 例4は国語力がポイント ◆

例4も暗算力が大切なのですが、一番大切なことは「問題の意味をよく理解できること」だと2πr(にーぱいあーる)は考えます。

問題の意味を理解して、具体的な数字の組み合わせが頭に浮かばなければこの問題は先に進まないからです。

ここら辺は、動画教材の解説をよく読んでみてください。読みながら、いろいろな場合をメモ用紙に書いてイメージが浮かぶようにすることが大切です。

こうして頭が整理できたら、ノートに、できるだけ簡単に、できるだけ思い出しやすいように、まとめてみましょう。これがワンランク上の頭のトレーニングになります。ノート整理頑張りましょう。

 

◆ 例5は「2つの方法」がポイント ◆

例5は3人の身長平均を求める問題ですが、小学校で学んだ「平均の求め方」を覚えていないと話になりません。

そういう人は、解説の最初の解き方をよく見て思い出してください。

その方法がわかっている人は、「仮の平均を使った平均の求め方」ができるようになってください。

この問題のポイントは、「2通りの解き方どちらもできるようになることが大切」ということです。

どちらもできるようになって、いろいろなことがはっきりと理解できるようになるからです。

面倒だといわずに挑戦しましょう。

 

◆ 終わりに~数学の本当の目的 ◆

例5の仮の平均を使った求め方がなぜ正しいのか、わからない人もいるでしょう。なんとなくわかったけれど説明するとなると自信がないという人はもっと多いかと思います。

このあたりの疑問をそのままにせずに、じっくり考えることができるようになることが数学の本当の目的です。

難しい言葉で言うと「論理的な思考ができるようになることと発想力がつくことが数学の本当の目的」です。

「なんとなくわかる」ではなく「こういう理由だからこうなる。次はこんな理由でこうなる・・・」とか、「こうすればいいんじゃないか!?」というふうに、理由をはっきりさせながら考えることができたり、うまい考えが閃く(ひらめく)ようになってほしいということです。

=========

みなさんは、「よくわからないけどまぁいいか」と考えて物事を進めることはありませんか?

それが絶対悪いとはいいませんが、でるだけ理由がはっきりしているほうが自分も他人も納得できるはずですから、理由をはっきりさせて考えを進めるように努力してみてください。

「仮の平均を使った求め方が本当に正しいの?」と感じたら、納得できる理由を自分で考えてみてください。

その姿勢が、あなたを「論理的に考える人、閃く人」に近づけてくれます。社会に出ても「人を納得させられる人、アイデアが浮かぶ人」に近づけてくれます。「相手の話におかしいところがないか判断できる人」に近づけてくれます。

では、最後に「仮の平均を使う方法がなぜ正しいのか」を説明して、この単元のブログを終わります。

(興味や時間のない人は、ここから先は読まなくても結構です)

 


 

「仮の平均を使った求め方が正しい理由」

3本の棒を考えます。この3本の棒の平均の長さを求めることを考えましょう。

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

この3本の合計の長さは9+5+7=21 cm。

21 cm  =====================

この長さを3でわれば、3本の平均の長さが求められます。

21÷3=7

21 cm  ======= ======= =======

平均とは「合計してその個数で割った長さ」をいいます。9cm、5cm、7cm いろいろな長さがあるけど「まぁ、ならしてみると、1本7cmと見とけばいいんじゃない? 」といった感じの数(代表値といいます)です。

では、「仮の平均」を使ったやり方で考えてみます。

仮に、基準を4cm とすると(図の青の線です。基準は何cmにしてもかまいません)

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

これを一直線に並べます。

21 cm  ======= ===== =========

これを、次のように並べ替えてみます。

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

このように並べてみると、

青の平均は12÷3=4

残りの平均が(3+1+5)÷3=9÷3=3

となるので、

平均=4+3=7 だとわかります。

21cm  ==== ==== ==== ===   ===   ===

21 cm  ====  ===   ====  ===  ====  ===

ここで、4は最初に決めた基準、3は「差の平均」つまり「仮の平均」になっているので、

平均=基準+仮の平均

で求めてよいことがわかります。


どうでしょう?

納得してもらえたでしょうか?

言葉だけでは納得できない人もいると思い、長さの図をいろいろ付け加えたので、じっくり見て考えてみてください。


また、話は違うのですが、

下の図を見ると

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

3本の全体の長さ=基準×3+(差の合計)

という関係に気づきませんか?

このように、具体的に考えると別な性質も発見しやすくなります。


ちなみに、この説明を数式を使って説明することもできます。

平均=(9+5+7)/3

=(+5++1++3)/3

/3+5/3+/3+1/3+/3+3/3

/3+/3+/3+5/3+1/3+3/3

=()/3  +(5+1+3)/3

=12/3 + (5+1+3)/3

+ (5+1+3)/3

=基準 + 仮の平均


このように、最初に言葉や図で説明したことが、数式でも説明できるのです。

このことから「数学は言葉」といわれます。

理由をはっきりさせながら説明できる人は、式を使って説明することができるようになります。

式を使って説明できる人は、理由をはっきりさせながら説明することができるようになります。

そして、普通の人が見逃しやすい理由に気づく(閃く)ことができるようになります。

さて、この計算には 加法(減法)と除法(乗法)が使われています。ということは、当然、ここで行われている計算が正しい理由を知っていなければなりません。

その理由のひとつが、「分配法則は正しい」という知識です。

その理由のひとつが、「加法の交換法則、情報の交換法則」という知識です。

その理由のひとつが、「正の数・負の数の分数・小数は四則について閉じている」という知識です。

※冷静に自分がどんな理由(計算法則)で計算を進めているのかを見つめてみてください。他にもあるかもしれません・・・

これらの知識があるからこそ、9,5,7ではなく他の整数や分数・小数であっても「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

これらの知識があるからこそ、仮に基準を7とすると差には負の数が生じますが、このような場合でも「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

そして、今は、9,5,7という「3つの数」を具体例として数式で説明しましたが、次の単元で学ぶ「文字式」を使って説明すると、その「3つの数」がどんな整数や分数・小数でも「平均=基準+仮の平均」が正しいと説明することができます。

理由は、「文字はすべての数字の代わりになる」と考えるからなのですが、文字を使った説明の簡単な例を一番下に付け加えておきます。

「文字式」自体はそれほど難しくありません。次の単元も頑張ってください。

では、「正の数・負の数」の単元は以上です。 \(^_^)/


◆ 参考~「証明」 ◆

「3つの数を考えたとき、平均=基準+仮の平均となることを証明しなさい。」

※証明:筋道立てて説明すること

「証明」

k,x,y,z を正の数・負の数の分数・小数とする。

kは仮の基準、

x,y,zを「仮の基準との差」とすると、

3つの数はそれぞれ、k+x,k+y,k+z、と表される。

これより、

平均={(+x)+(+y)+(+z)}/3

=(+x++y++z)/3

/3+x/3+/3+y/3+/3+z/3

/3+/3+/3+x/3+y/3+z/3

=()/3  +(x+y+z)/3

=3×/3 + (x+y+z)/3

+ (x+y+z)/3

よって、

平均=基準 + 仮の平均 となることがわかる。

証明終わり

※みなさんは、数字の個数は3つ以外に、2つでも、4つでも、5つでも、いくつでも正しいことは、わかるでしょう。そのことをまとめて証明する書き方はありますが、ここでは文字を使った説明文(数式)のイメージを持ってもらうことが目的なので、省略します。(^^)/

 

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数学動画教材1115_01「テーマ:加減乗除の混じった計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1115_01_加減乗除の混じった計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1115_01_加減乗除の混じった計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 加減乗除の混じった計算とは ◆

加減乗除の混じった計算というとどんな式を想像しますか?

+-×÷の4つがみんな混じっている式を思い浮かべる人もいるでしょうが、実はそうではありません。

この動画教材であつかっている主な計算式を見てみると、

×40÷5  減乗除

×(-2)(-40)÷5  減乗除

×(-40)÷(-5)  減乗除

÷(-3)÷×405  減乗除

(-4)2乗 ÷{3(-5)}  減乗除

※2乗ということは(-4)×(-4)が含まれているから減除ではない。

84×1281×(-2)  加乗

81×{12+(-2)}  乗

となっており、加減乗除のうちのいくつかが混じっていればOKなのです。(加減乗除の記号つまり演算記号は赤太字にしてあります)

一番下の 81×{12+(-2)} は、カッコをひとつの数と考えるので、かけ算のみの式。つまり項がひとつの式なのですが、分配法則を使うと加乗除が混じっている式(すぐ上の式)になるので加減乗除の混じった計算に入れています。

別ないい方をすると、分配法則を逆に利用する計算があるので下2つの式はここのテーマで扱うことにしているということです。

ここらへんを整理してから、学ぶとよいと思います (^_-)v

 

◆ 大切なことは項の数 ◆

説明動画でも繰り返し触れていますが、加減乗除の混じった計算をするときに一番大切なことは「項の数がいくつなのかを判断できる」ことです。

ここがわかっていないと必ずミスをします。

説明動画を見る前でも、見た後でもかまいませんので、下の計算式の項の数をパッと見て判断してみてください。全部あっていればOKです。

そうでなければ、まだまだ修行が足りないということになります (^_^;)

では、いきます。

×40÷

×(-2)(-40)÷

×(-40)÷(-5)

÷(-3)÷×40

(-4)2乗 ÷{3(-5)}

84×1281×(-2)

81×{12+(-2)}

では、答えです。

項と項の間を離してあります。

続きを読む 数学動画教材1115_01「テーマ:加減乗除の混じった計算が正確にできる」について

数学動画教材1114_01「テーマ:除法と乗法の混じった計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1114_01_除法と乗法の混じった計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1114_01_除法と乗法の混じった計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 最初に逆数?、符号? ◆

今回のテーマのねらいは、「最初に逆数を使うか、それとも最初に符号を決めるか、自分で優先順位を決めることができる」ことです。これができるようになれば、除法と乗法が混じった計算は正確にできるようになります。

具体的には、説明動画教材の最後から2番目のスライドにある「重要」であつかっている問題を例に説明します。

 

(-5/2)×(-7)÷(-5/6) を2通りの方法で解くのですが、

最初の方法は、÷(-5/6)を逆数を使って ×(-6/5)に変えて、乗法だけの式にしてから答えの符号を決めるやり方です。

別解は、最初に答えの符号を決めてから、÷5/6 を、逆数を使って ×6/5 に変えて計算を進めています。

どちらも正しいのですが、あなたならどちらを優先的に利用しますか? その理由は?

 

・・・この答えは、自分なりの理由さえあればどちらでもかまいません。大切なことは「自分なりの理由」があってそれをわかりやすく他人に伝えることができることなのです。

それができる人は、どちらの方法も自由に使える力をもっているからです。

ちなみに、2πr(にーぱいあーる)の意見を紹介します。

 

「わたしは、答えの符号を先に決める方法を優先的に利用します。なぜならば、除法は乗法に直すことができるとわかっているので、÷が入っていても乗法だけの計算と見なしてよいからです。いままで、乗法だけの計算では答えの符号を先に決めることを最優先にして計算しているので、これからも除法と乗法が混じっている計算も同じように計算した方が楽だと思うからです。」

 

どうでしょうか?

2πr(にーぱいあーる)は、逆数を学ぶことは「除法は乗法と同じように扱っていいんだ」というテクニックを説明するために必要で、このことさえ納得できれば、「じゃあ、いいまでの乗法の計算と同じように計算していいんだ」と考えいます。

つまり、2πr(にーぱいあーる)は、『「乗法の計算は答えの符号を先に決める」を除法が混じっていても使っていいということ』が今回のテーマで一番理解して欲しいことだ、と考えているのです。

もちろん、違う考えがあってもかまいません。

実は、説明動画の最後のまとめを見てもらうとわかりますが、2πr(にーぱいあーる)の考えはあえて隠しています。

理由は、このテーマで学んだものは自分で自由に整理して欲しいからです。

どちらの方法でもいいのですから、いろいろ経験していくうちに自分なりの優先方法が決まってくればいいのです。

そうした自分なりの整理整頓が学ぶことの楽しさにつながると思います (^_-)v

 

◆ 逆数について ◆

分数とわり算が同じものであることは、ブログ1110_01「テーマ:分数の加法が正確に計算できる」について で、別な角度から詳しく触れていますが、見ていない人も多いと考えて最初のスライドで軽く触れました。

そして、このことを使って小学校で学んだはずの「わり算は逆数を使ってかけ算に直せる」ことを、あまり見慣れない方法で説明しています。

その理由は、(経験上)ほとんどの人は「逆数は分母分子を入れ替えたもの」程度の記憶しかないと思われるので、逆数の定義(2数をかけて1になるとき一方は他方の逆数という)が突然出されても頭に入りにくいのではないか、と考えたからです。

もしそうであれば、目新しくて頭に入りやすい知識(分数はわり算)と計算に必ず必要な約分や通分の性質を利用して説明した方が効果的なのかな・・・という感じです。

「いや、数学は定義から進めて理路整然とすべきだ」と考えている方も大勢いらっしゃると思いますが、ひとつの考え方だと思っていただければ幸いです m(_ _)m

ちなみに、逆数の定義を扱わないのは問題があるので、中学校レベルの逆数(負の数の逆数)で触れています。

逆数はこれからの計算にはなくてはならないもののひとつです。

それは、練習問題動画に取り組むとわかると思います。

累乗も絡んできて今までの知識も必要です。

ぜひ、スラスラと途中計算が書けて解けるようになってください。

今回は、以上です。

 

数学動画教材1113_01「テーマ:累乗を含む計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1113_01_累乗を含む計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1113_01_累乗を含む計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 累乗計算は、暗算が最終目標 ◆

今回のテーマの本当のねらいは、「累乗の計算を暗算で計算できるようになる」です。

それが、累乗を含む計算を正確に計算するうえで最も大切なことだからです。

特に、次のテーマである

「1114 乗法と除法の混じった計算」

「1115 加減乗除の混じった計算が正確にできる」

では、複雑な計算式の中に累乗が紛れ込んできます。

そのような計算は、累乗計算が暗算でできないと、途中計算がわかりにくいものになってしまいます。

もちろんこの動画教材の中心である「カッコが関わっているときの累乗計算」は注意深く理解する必要があります。最初は、ゆっくりていねいに途中計算を書いて「カッコが関わっているときの累乗計算」に慣れてください。

そして、必要に応じて途中計算を書いたり、省略したりできるようになりましょう。

 

◆ カッコの意味を理解する ◆

「カッコが関わっているときの累乗計算は注意深くする必要がある」といいましたが、そのためには、カッコの意味をよく考えることが必要です。ちなみに、分数の横棒もカッコと考えておくといいと思います。

動画教材をよく見て自分なりのカッコの意味を整理するといいのですが、ここでは簡単にポイントを示しておきます。

指数がカッコの中にあるか、外にあるかに気をつける。

○ 分数の場合、カッコの中に指数があるときは、「分母の累乗計算」なのか、「分子の累乗計算」なのかを明確に判断する。

この2つだけです。

これをしっかり頭に入れて、動画教材に取り組めば大丈夫!

簡単ですが、今回は以上です。

 

p.s.

WordPress では指数表現ができない・・・は無関係です。動画教材に重要なポイントがまとまっているので、簡単な説明になりました m(_ _)m