数学動画教材1301_01「テーマ:方程式と等式の違いと不等式の意味が理解できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

今回は、新年のスタートなので練習問題動画も公開しています (^_^)v

動画教材へのリンク 1301_01_方程式と等式の違いと不等式の意味が理解できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1301_01_方程式と等式の違いと不等式の意味が理解できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 意味を身につけることが最も大切 ◆

具体的な内容は説明動画を見てもらえればよいので、ここでは補足したいことだけを述べます。
最初は、意味の大切さについての補足です。
方程式を学び終わったときに「方程式の意味は忘れ、なんとなく解き方だけを覚えている」という人が意外に多いものです。
しかし、「方程式の意味」を忘れては方程式を学ぶ意味がありません。
これからの数学の基礎として方程式がどんどん使われますが、「方程式の意味」を理解していない人は新しく学ぶ内容の意味も理解できないという負の連鎖が生まれます。
「意味はよくわからないが、なんとなく解き方は理解できている人」にはならないでください。そうなってしまうと、数学を学ぶことが苦痛になるだけです。
数学は何度も言いますが、言葉です。意味のわからない言葉を話せたり書けたりしてもあまり意味はありません。
このテーマは本当に理解できるまで説明動画を何度も見ていただけたらと考えています。そうして、自分なりにノートに考えを整理して、方程式の意味をしっかり身につけてください。
練習問題動画も公開しているので、あわせて参考にしてください。

◆ 等号には2種類の意味 ◆

次に補足したいことは、等号=(イコール)の使い方が2種類あるということについてです。
説明動画では、
「左から右に変身しているよ」
「左と右はつり合っているよ」
というように表現して、2種類の具体例を紹介しています。
実は、このことを明確に意識できている人はとても少ないと思います。2πr(にーぱいあーる)の教師時代に、「この子は意識できている」と感じる生徒はほとんどいませんでした。
しかし、これは生徒が悪い訳ではありません。教科書や教える側があまり重視していないことが原因だと2πr(にーぱいあーる)は考えています。
ほとんどの数学授業の現場では、2種類ある等号の使われ方の違いを意識せずに授業が進められ、間違った人に気づいたら対処療法的に「=の使い方は2種類あるから・・・」と補足説明するだけで終わっているのだと思います。

この違いを早いうちに理解することは実はとても重要なことです。ここを意識していない人は、等式の変形を

2x+3=5
2x+3-3=5-3
2x=2
x=1

と書くべきときに

2x+3=5
2x+3-3=5-3
  2x=2
   x=1

のような途中計算を書いてしまうミスをします。

これがとてもおかしな書き方である理由は、ぜひ自分で考えてみてください。

答えは、1306_01「テーマ:移項と1次方程式の意味が理解できる」の説明動画で説明します。

◆ 「数量を文字式で表す」と方程式 ◆

説明動画の最後では、少し前に学んだ「数量を文字式で表す」内容がどのように役立っているのかを説明しています。
しっかり意識していないと、何気なくやり方だけを覚えてしまいがちです。
以前学んだことを意識することが、とても効果的な反復学習になります。このようなことを繰り返すことで、学んだことが身についてきます。
ただ表面的に説明動画の内容を記憶しても、他の学習内容との関連が理解できていなければ、「わかった」ということにはならないのです。
そういう意味で、該当するテーマのノートに気づいたことを追加しながらノートと頭を整理することが大切なのです。
今からでも遅くありません。テーマを意識してノートを整理してください。ノートのつくり方の一例をブログにまとめてありますので、興味があったら参考にしてください。

ブログ 動画教材を使った勉強の仕方 ~ 中学校数学 by 2πr(にーぱいあーる)

◆ 方程式の文章問題 ◆

方程式の文章問題はこの章の最後に扱いますが、このテーマでやっている「数量の関係を、等式や不等式で表す」が基本になります。
つまり、文章問題を見て「数量の関係を等式で表せないかな」と考えて等式をつくることが、実は「方程式をつくる」ということだからです。
ということは、以前に学んだ「数量を文字式で表す」ことがとても大切だとわかります。
よく覚えていない人は、関係しそうなテーマをもう一度見て、気づいたことをノートに付け加えましょう。
何も付け加えることがなく、すべてわかっていた人は、方程式の文章問題も問題なくできるようになります。

◆ 不等式の扱い ◆

現在(このブログを書いている時代)は、不等式の計算は高校生になって学びます。
しかし、高校に行ってから不等式にすぐ対応できるように、不等式の意味は中学生の段階でしっかり身につけておく必要があります。そして、この意味を理解することで、これから学ぶ中学校数学をより確実に理解できるようになるからです。
中学生では、このテーマで扱ったような内容がスラスラ答えられるようになれば十分ですので、がんばってください。
余談ですが、いつ何をどの程度学習するかを決めている「学習指導要領」が今後どのように変更されるかわかりません。もしかしたら、教える順番や内容が大幅に変更されるかもしれませんが、細かいことは気にせずに、今学ぶべきことは気を抜かずにしっかり身につければOKです。数学の内容自体は変わることはほとんどないからです。

今回は、以上です。

 

 

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数学動画教材1117_01「テーマ:学んだことを使って文章問題を解くことができる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 文章問題は宝の山 ◆

「正の数・負の数」の単元では、はじめて負の数について正式に学び、負の数を含めたすべての数で加減乗除の意味や四則の混じった計算の仕方を身につけてきたと思います。

ここで扱う文章問題は、すべて「正の数・負の数」で学んだことを使わなければできない問題です。言い換えれば、ここで扱う文章問題をすべて解けるようになれば「正の数・負の数」で学んだことはうまく使えるようになっているということになります。

同じようなことを何度も書いているのですが、数学は積み重ねの学問なので難しい問題が解けることはそれまで学んだことが身についていることを示すことになるのです。

そのように考えると、ここで扱う文章問題は宝の山といえるのではないでしょうか。

積み重ねてきた知識や計算力は宝物です。せっかくの宝物をうまく使えるようになってください。

動画教材でお話ししたように、気軽に考えて取り組むのが一番です。

ここで扱う問題だけでなく、積極的に問題集などの問題にも取り組みましょう \(^_^)/

◆ 例1は項がポイント ◆

スライドをよく見てもらえればそれでいいのですが、この単元のまとめにもなるので少しだけ解説を付け加えます。

例1の問題は、「項を理解しているか」を確認する問題です。

動画教材1107_01では、「項とは加法の記号+(たす)でつながれている数字や文字のこ」だと説明しました。このことから、項を考えるときには、「ひき算があればまずたし算に直してから考える」というテクニックが頭に浮かぶ必要があります。

これが一番大切なポイントです。これがわかっている人は、7-3+(-5)の7と-3の間には見えないたし算記号+(たす)が隠れているとすぐわかるはずです。

このとき、7ひく3と読んだ人がいて「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)だから項は7と-3だ」と考えてもかまいません。

これら2つの考え方がすぐ頭に浮かぶ人は、なかなかの実力者ということになります。

もちろん、「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)」が浮かぶということは、「減法は引く数の符号を変えて加法に直せる」ことが身についているということになります。

 

◆ 例2は暗算がポイント ◆

例2は、「A+(-1)+0の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探す問題です。

A+(-1)+0を簡単にするとA+1となるので、この問題は「A+1の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探せばよいことになります。

これなら、「Aにいろいろな数をあてはめてみて暗算 → 答えが-3になる数を探す」という作業をすればよいことになります。

そう考えると、この問題は「とにかくAにいろいろな数をあてはめて答えが-3になるかどうか確かめる」ことが最も重要だとわかります。

つまり、この問題は「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」があるかどうかを確かめる問題といえるのです。

暗算力はとても大切な力です。まだ自信がないという人は、動画教材1106_01にもう一度取り組んでみてください。その方がよくわからない問題に時間を取られるよりもはるかに効率的です (^_-)v

また、この問題が速く正確に解けるようになると、この後で学ぶ「1次方程式」という単元が理解しやすくなります。今は知らなくてよいのですが、そういうよい効果もあるので是非頑張ってください。

 

◆ 例3も暗算がポイント ◆

例3は、いわゆる「魔方陣」という問題です。この問題のポイントも「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」です。

解説をよく見てもらえればよいのですが、例2でやった計算をもっと数多くする問題だからです。

また、「一番最初に3つの数の和がいくつなのかを求める」ことがこの問題のスタートになります。例3の場合は「右上がり斜めの3つの数がそろている」ことに気づくことがポイントです。

ここら辺は、問題文と解説文をよ~く読んで問題の意図を理解できていることがカギになります。

このように、文章問題は「問題の意図を理解する国語の力」が大切になります。

国語も頑張りましょう!

 

◆ 例4は国語力がポイント ◆

例4も暗算力が大切なのですが、一番大切なことは「問題の意味をよく理解できること」だと2πr(にーぱいあーる)は考えます。

問題の意味を理解して、具体的な数字の組み合わせが頭に浮かばなければこの問題は先に進まないからです。

ここら辺は、動画教材の解説をよく読んでみてください。読みながら、いろいろな場合をメモ用紙に書いてイメージが浮かぶようにすることが大切です。

こうして頭が整理できたら、ノートに、できるだけ簡単に、できるだけ思い出しやすいように、まとめてみましょう。これがワンランク上の頭のトレーニングになります。ノート整理頑張りましょう。

 

◆ 例5は「2つの方法」がポイント ◆

例5は3人の身長平均を求める問題ですが、小学校で学んだ「平均の求め方」を覚えていないと話になりません。

そういう人は、解説の最初の解き方をよく見て思い出してください。

その方法がわかっている人は、「仮の平均を使った平均の求め方」ができるようになってください。

この問題のポイントは、「2通りの解き方どちらもできるようになることが大切」ということです。

どちらもできるようになって、いろいろなことがはっきりと理解できるようになるからです。

面倒だといわずに挑戦しましょう。

 

◆ 終わりに~数学の本当の目的 ◆

例5の仮の平均を使った求め方がなぜ正しいのか、わからない人もいるでしょう。なんとなくわかったけれど説明するとなると自信がないという人はもっと多いかと思います。

このあたりの疑問をそのままにせずに、じっくり考えることができるようになることが数学の本当の目的です。

難しい言葉で言うと「論理的な思考ができるようになることと発想力がつくことが数学の本当の目的」です。

「なんとなくわかる」ではなく「こういう理由だからこうなる。次はこんな理由でこうなる・・・」とか、「こうすればいいんじゃないか!?」というふうに、理由をはっきりさせながら考えることができたり、うまい考えが閃く(ひらめく)ようになってほしいということです。

=========

みなさんは、「よくわからないけどまぁいいか」と考えて物事を進めることはありませんか?

それが絶対悪いとはいいませんが、でるだけ理由がはっきりしているほうが自分も他人も納得できるはずですから、理由をはっきりさせて考えを進めるように努力してみてください。

「仮の平均を使った求め方が本当に正しいの?」と感じたら、納得できる理由を自分で考えてみてください。

その姿勢が、あなたを「論理的に考える人、閃く人」に近づけてくれます。社会に出ても「人を納得させられる人、アイデアが浮かぶ人」に近づけてくれます。「相手の話におかしいところがないか判断できる人」に近づけてくれます。

では、最後に「仮の平均を使う方法がなぜ正しいのか」を説明して、この単元のブログを終わります。

(興味や時間のない人は、ここから先は読まなくても結構です)

 


 

「仮の平均を使った求め方が正しい理由」

3本の棒を考えます。この3本の棒の平均の長さを求めることを考えましょう。

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

この3本の合計の長さは9+5+7=21 cm。

21 cm  =====================

この長さを3でわれば、3本の平均の長さが求められます。

21÷3=7

21 cm  ======= ======= =======

平均とは「合計してその個数で割った長さ」をいいます。9cm、5cm、7cm いろいろな長さがあるけど「まぁ、ならしてみると、1本7cmと見とけばいいんじゃない? 」といった感じの数(代表値といいます)です。

では、「仮の平均」を使ったやり方で考えてみます。

仮に、基準を4cm とすると(図の青の線です。基準は何cmにしてもかまいません)

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

これを一直線に並べます。

21 cm  ======= ===== =========

これを、次のように並べ替えてみます。

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

このように並べてみると、

青の平均は12÷3=4

残りの平均が(3+1+5)÷3=9÷3=3

となるので、

平均=4+3=7 だとわかります。

21cm  ==== ==== ==== ===   ===   ===

21 cm  ====  ===   ====  ===  ====  ===

ここで、4は最初に決めた基準、3は「差の平均」つまり「仮の平均」になっているので、

平均=基準+仮の平均

で求めてよいことがわかります。


どうでしょう?

納得してもらえたでしょうか?

言葉だけでは納得できない人もいると思い、長さの図をいろいろ付け加えたので、じっくり見て考えてみてください。


また、話は違うのですが、

下の図を見ると

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

3本の全体の長さ=基準×3+(差の合計)

という関係に気づきませんか?

このように、具体的に考えると別な性質も発見しやすくなります。


ちなみに、この説明を数式を使って説明することもできます。

平均=(9+5+7)/3

=(+5++1++3)/3

/3+5/3+/3+1/3+/3+3/3

/3+/3+/3+5/3+1/3+3/3

=()/3  +(5+1+3)/3

=12/3 + (5+1+3)/3

+ (5+1+3)/3

=基準 + 仮の平均


このように、最初に言葉や図で説明したことが、数式でも説明できるのです。

このことから「数学は言葉」といわれます。

理由をはっきりさせながら説明できる人は、式を使って説明することができるようになります。

式を使って説明できる人は、理由をはっきりさせながら説明することができるようになります。

そして、普通の人が見逃しやすい理由に気づく(閃く)ことができるようになります。

さて、この計算には 加法(減法)と除法(乗法)が使われています。ということは、当然、ここで行われている計算が正しい理由を知っていなければなりません。

その理由のひとつが、「分配法則は正しい」という知識です。

その理由のひとつが、「加法の交換法則、情報の交換法則」という知識です。

その理由のひとつが、「正の数・負の数の分数・小数は四則について閉じている」という知識です。

※冷静に自分がどんな理由(計算法則)で計算を進めているのかを見つめてみてください。他にもあるかもしれません・・・

これらの知識があるからこそ、9,5,7ではなく他の整数や分数・小数であっても「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

これらの知識があるからこそ、仮に基準を7とすると差には負の数が生じますが、このような場合でも「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

そして、今は、9,5,7という「3つの数」を具体例として数式で説明しましたが、次の単元で学ぶ「文字式」を使って説明すると、その「3つの数」がどんな整数や分数・小数でも「平均=基準+仮の平均」が正しいと説明することができます。

理由は、「文字はすべての数字の代わりになる」と考えるからなのですが、文字を使った説明の簡単な例を一番下に付け加えておきます。

「文字式」自体はそれほど難しくありません。次の単元も頑張ってください。

では、「正の数・負の数」の単元は以上です。 \(^_^)/


◆ 参考~「証明」 ◆

「3つの数を考えたとき、平均=基準+仮の平均となることを証明しなさい。」

※証明:筋道立てて説明すること

「証明」

k,x,y,z を正の数・負の数の分数・小数とする。

kは仮の基準、

x,y,zを「仮の基準との差」とすると、

3つの数はそれぞれ、k+x,k+y,k+z、と表される。

これより、

平均={(+x)+(+y)+(+z)}/3

=(+x++y++z)/3

/3+x/3+/3+y/3+/3+z/3

/3+/3+/3+x/3+y/3+z/3

=()/3  +(x+y+z)/3

=3×/3 + (x+y+z)/3

+ (x+y+z)/3

よって、

平均=基準 + 仮の平均 となることがわかる。

証明終わり

※みなさんは、数字の個数は3つ以外に、2つでも、4つでも、5つでも、いくつでも正しいことは、わかるでしょう。そのことをまとめて証明する書き方はありますが、ここでは文字を使った説明文(数式)のイメージを持ってもらうことが目的なので、省略します。(^^)/

 

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数学動画教材1102_01「テーマ:数の大小を不等号で表すことができる」について

1.◆ はじめに ◆

今回は、数学動画教材1102_01「テーマ:数の大小を不等号で表すことができる」の内容について少し詳しく説明します。

中学校数学を学ぶ人が動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

 

1102_01_数の大小を不等号で表すことができる_説明

1102_01_数の大小を不等号で表すことができる_練習問題

2.◆ このテーマで一番大切なこと ◆

日本語も英語も、世界中の言葉すべてには主語と動詞があります。中学1年生にはすこし難しいかもしれませんが、簡単に言うと、「わたしは」「あなたは」などの言葉が主語で、「~する」「~している」などを意味する言葉が動詞です。
主語だけでは、その人が何をするのか伝わりません。動詞だけでは、誰がやっていることなのか伝わりません。このように相手に何かを伝えるときは必ず「主語と動詞がセット」になっています。
実は数学も、日本語や英語とほとんど変わらない言葉なのです。なぜならば、数学も考えたことを人に伝える道具だからです。
このテーマで一番大切なことは、不等号を使って正の数・負の数の大小関係を人に伝えることができるということです。そして、そのために不等号を「動詞」と考える発想が大切だと2πr(にーぱいあーる)は考えています。

3.◆ 次に大切なこと ◆

次に大切なことは、日本語や英語と同じように、数学も同じことを伝えるのにいろいろな表現方法があるということです。つまり、答えがひとつでないこともあるということを理解することです。
例えば、「5は3より大きい」は、「3は5より小さい」と表現しても、その大小関係は同じように人に伝わります。注目している主語が、5なのか3なのかというだけのことです。
数学では、「5は3より大きい」を「5>3」、「3は5より小さい」を「3<5」と表現するので、どちらを答えても正しいということになります。
日本語がわかる人は、必ず数学もわかるということですね。

ちなみに、この不等号は英語の動詞と使い方がよく似ています。そこら辺は、英語をもっと勉強するとわかるようになります。

以上のことから、不等号の問題では「他に答えはないかな?」と考える癖をつけてください。

◆ 3つ以上の数の大小 ◆

3つ以上の数の大小を表すときは、説明動画で示したことで十分です。日本語がわかればまず大丈夫でしょう。

でも、ひとつだけ確認したいことがあります。それは、

「-3<0<4 と 4>0>-3 を数直線で考えるとどうなるかわかりますか?」ということです。・・・以外に難しいでしょ?

この答えは、「目盛りのつき方が逆の数直線」を思い浮かべるとわかってきます。

説明はしないので、数直線をよく見てください。

 

4.◆ 最後に ~ xを使った不等式 ◆

最後に、数直線を使って大小関係を考えるとき、知っておいてほしいことを紹介します。それは「数字をグループで考えることもある」ということです。

練習問題動画の問題1(1) にxを使った問題があります。ここでのxは、その状況にあった数全部を表しています。

例えば x<2 を考えてみると、この式は「xは2より小さい数のグループ全部を表している」と考えます。このことを、数直線で考えると図のようになります。この図では、xの範囲を矢印で表していますが、数直線を太線にしてxの範囲を表すこともあります。

そして、押さえておきたいことは、> と ≧ の表現の違いです。xの範囲に2が入らないときは>、2が入るときは≦をつかいます。

ちなみに、不等号を使った式を「不等式」と呼びます。この不等式の関係を数直線で表すときは、「> や <  は白丸、 ≧ や ≦ は黒丸 を使う」ことになっています。

また、 x<2と同じ大小関係を表している2>xは「2はxより大きい」と表現しますが、個人的には『xを主語にして「xは2より小さい」と表現することが多い』ように感じています。そこで、動画教材(練習問題)ではあえて「xを主語にすることが多い」と書いておきました。

1102_01練習問題1(5)です。

 

今回は、以上です。

追記

x≦2は「xは2以下」と表現することが多いですが、慣れるまでは常に「xは2より小さいかまたは等しい」という正確な表現を使うと、意味をはっきり理解できるのでお勧めです。

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