数学動画教材1210_01「テーマ:少し難しい1次式同士の加法減法が計算できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1210_01_少し難しい1次式同士の加法減法が計算できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1210_01_少し難しい1次式同士の加法減法が計算できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 練習あるのみ ◆

今回のテーマでは、「分数や小数が混じった1次式同士の加法減法」を詳しく説明しています。
やり方自体は変わらないので、別解も含めてしっかり理解してください。
分配法則や一次式と数の乗法・除法をしっかり意識して、時間が多少かかっても、確実に理解しましょう。

練習あるのみです。

今回は、以上です。

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数学動画教材1209_01「テーマ:1次式同士の加法減法が正確に計算できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

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◆ 本当の目的 ◆

今回のテーマでは、1次式同士の加法減法が正確に計算できるようになることが目的です。難しい計算ができるよりも、カッコがあるときの文字式の項をどのように見るかを理解できることが最も大切なことです。

カッコのある文字式をいかに簡単な式(つまり、できるだけ簡単な項を並べた式)にするべきか、その基本を身につけることが本当の目的です。

最初はゆっくりでかまいません。確実に計算の手順やそのときの項の数の変化を確認しながら、練習を繰り返してください。

◆ 教科書でのカッコのはずし方 ◆

どの教科書にもいえるのかはよくわかりませんが、2πr(にーぱいあーる)が現役教師時代に扱ってきた教科書では、カッコのはずし方に分配法則を使わず、項の考え方を使っていました。

具体的な式で説明すると、

+2)+(+4)は、たし算の記号+を省略して項を並べて表すと、+2+4 となり、先頭項の正符号+を省略して 2+4 と表しました。これを使ってカッコをはずそうというわけです。

つまり、

2x+3)+(4x+1)のたし算の記号+を省略して項を並べて表すと、カッコがはずれて4つの項 2x+34x+1 となるのですが、2x+34x+1 では +34xがひとつの項に見えるので、4xの符号を復活して 2x+3+4x+1 と すればいいという考え方です。

そして、

「減法はひく数の符号を変えて加法に直すことができる」ことを使って、

2x+3)-(4x+1)=(2x+3)+(-4x-1)=2x+3-4x-1

とカッコがはずせると説明するのです。

もちろん、最終的に 2x+3-4x-1 は -2x+2 と簡単にします。

◆ 分配法則を使ったやり方で十分 ◆

2πr(にーぱいあーる)は、分配法則を使ったやり方を重点的に理解した方がよいと考えています。

理由は、分配法則を使ったやり方の方が応用が利くために一般的に使われるようになるからです。

項の考え方を使ったやり方では(2x+3)-(4x+1)は計算できても、x+1)-4(2x-1)のような計算では行き詰まってしまいます。だから、分配法則を使ったやり方しか使わなくなります。

中学1年生の内容を学び終えた人は、項の考え方でカッコをはずす方法をどのくらいの人が身につけているのでしょうか?

項の考え方でカッコをはずせることはオマケ程度の説明でよいのかな、と思います。

以上のことから、

何よりも分配法則を使ったやり方でカッコがはずせるようになることに重点をおいてください。項の考え方を使ったやり方については必要なときに説明できるくらいなら理想的ですが、それほど重点を置かなくてよいと思います。

また、分配法則を使ったやり方さえ身につければ、あとは分数や小数を含んだカッコのはずし方さえ思い出せばどんな難しい計算もスラスラと計算できるようになります。

今回は、以上です。

 

 

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数学動画教材1206_01「テーマ:式の値が正確に計算できる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1206_01_式の値が正確に計算できる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1206_01_式の値が正確に計算できる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 式の値のポイント ◆

式の値のポイントは2つ。

① ×÷を復活した式を思い浮かべることができる。

② 代入したときにカッコが必要かどうか判断できる。

です。

このことを意識して学べば、OKです。

あとは、今まで学んだことを思い出すだけです。

計算力が身についている人にとっては、きっと簡単に感じると思います。

そうでない人は、復習するよいチャンスだと思って頑張りましょう。

これからは、たくさん式の値を求めることになります。

当たり前に、スラスラと求められるようになりましょう。

今回は、以上です。

※ 最短ブログになりました (^_^;)

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数学動画教材1117_01「テーマ:学んだことを使って文章問題を解くことができる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1117_01_学んだことを使って文章問題を解くことができる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 文章問題は宝の山 ◆

「正の数・負の数」の単元では、はじめて負の数について正式に学び、負の数を含めたすべての数で加減乗除の意味や四則の混じった計算の仕方を身につけてきたと思います。

ここで扱う文章問題は、すべて「正の数・負の数」で学んだことを使わなければできない問題です。言い換えれば、ここで扱う文章問題をすべて解けるようになれば「正の数・負の数」で学んだことはうまく使えるようになっているということになります。

同じようなことを何度も書いているのですが、数学は積み重ねの学問なので難しい問題が解けることはそれまで学んだことが身についていることを示すことになるのです。

そのように考えると、ここで扱う文章問題は宝の山といえるのではないでしょうか。

積み重ねてきた知識や計算力は宝物です。せっかくの宝物をうまく使えるようになってください。

動画教材でお話ししたように、気軽に考えて取り組むのが一番です。

ここで扱う問題だけでなく、積極的に問題集などの問題にも取り組みましょう \(^_^)/

◆ 例1は項がポイント ◆

スライドをよく見てもらえればそれでいいのですが、この単元のまとめにもなるので少しだけ解説を付け加えます。

例1の問題は、「項を理解しているか」を確認する問題です。

動画教材1107_01では、「項とは加法の記号+(たす)でつながれている数字や文字のこ」だと説明しました。このことから、項を考えるときには、「ひき算があればまずたし算に直してから考える」というテクニックが頭に浮かぶ必要があります。

これが一番大切なポイントです。これがわかっている人は、7-3+(-5)の7と-3の間には見えないたし算記号+(たす)が隠れているとすぐわかるはずです。

このとき、7ひく3と読んだ人がいて「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)だから項は7と-3だ」と考えてもかまいません。

これら2つの考え方がすぐ頭に浮かぶ人は、なかなかの実力者ということになります。

もちろん、「(+7)-(+3)=(+7)+(-3)」が浮かぶということは、「減法は引く数の符号を変えて加法に直せる」ことが身についているということになります。

 

◆ 例2は暗算がポイント ◆

例2は、「A+(-1)+0の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探す問題です。

A+(-1)+0を簡単にするとA+1となるので、この問題は「A+1の式の和が-3になるときのAにあてはまる数」を探せばよいことになります。

これなら、「Aにいろいろな数をあてはめてみて暗算 → 答えが-3になる数を探す」という作業をすればよいことになります。

そう考えると、この問題は「とにかくAにいろいろな数をあてはめて答えが-3になるかどうか確かめる」ことが最も重要だとわかります。

つまり、この問題は「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」があるかどうかを確かめる問題といえるのです。

暗算力はとても大切な力です。まだ自信がないという人は、動画教材1106_01にもう一度取り組んでみてください。その方がよくわからない問題に時間を取られるよりもはるかに効率的です (^_-)v

また、この問題が速く正確に解けるようになると、この後で学ぶ「1次方程式」という単元が理解しやすくなります。今は知らなくてよいのですが、そういうよい効果もあるので是非頑張ってください。

 

◆ 例3も暗算がポイント ◆

例3は、いわゆる「魔方陣」という問題です。この問題のポイントも「同符号・異符号の2数の和を暗算で計算できる力」です。

解説をよく見てもらえればよいのですが、例2でやった計算をもっと数多くする問題だからです。

また、「一番最初に3つの数の和がいくつなのかを求める」ことがこの問題のスタートになります。例3の場合は「右上がり斜めの3つの数がそろている」ことに気づくことがポイントです。

ここら辺は、問題文と解説文をよ~く読んで問題の意図を理解できていることがカギになります。

このように、文章問題は「問題の意図を理解する国語の力」が大切になります。

国語も頑張りましょう!

 

◆ 例4は国語力がポイント ◆

例4も暗算力が大切なのですが、一番大切なことは「問題の意味をよく理解できること」だと2πr(にーぱいあーる)は考えます。

問題の意味を理解して、具体的な数字の組み合わせが頭に浮かばなければこの問題は先に進まないからです。

ここら辺は、動画教材の解説をよく読んでみてください。読みながら、いろいろな場合をメモ用紙に書いてイメージが浮かぶようにすることが大切です。

こうして頭が整理できたら、ノートに、できるだけ簡単に、できるだけ思い出しやすいように、まとめてみましょう。これがワンランク上の頭のトレーニングになります。ノート整理頑張りましょう。

 

◆ 例5は「2つの方法」がポイント ◆

例5は3人の身長平均を求める問題ですが、小学校で学んだ「平均の求め方」を覚えていないと話になりません。

そういう人は、解説の最初の解き方をよく見て思い出してください。

その方法がわかっている人は、「仮の平均を使った平均の求め方」ができるようになってください。

この問題のポイントは、「2通りの解き方どちらもできるようになることが大切」ということです。

どちらもできるようになって、いろいろなことがはっきりと理解できるようになるからです。

面倒だといわずに挑戦しましょう。

 

◆ 終わりに~数学の本当の目的 ◆

例5の仮の平均を使った求め方がなぜ正しいのか、わからない人もいるでしょう。なんとなくわかったけれど説明するとなると自信がないという人はもっと多いかと思います。

このあたりの疑問をそのままにせずに、じっくり考えることができるようになることが数学の本当の目的です。

難しい言葉で言うと「論理的な思考ができるようになることと発想力がつくことが数学の本当の目的」です。

「なんとなくわかる」ではなく「こういう理由だからこうなる。次はこんな理由でこうなる・・・」とか、「こうすればいいんじゃないか!?」というふうに、理由をはっきりさせながら考えることができたり、うまい考えが閃く(ひらめく)ようになってほしいということです。

=========

みなさんは、「よくわからないけどまぁいいか」と考えて物事を進めることはありませんか?

それが絶対悪いとはいいませんが、でるだけ理由がはっきりしているほうが自分も他人も納得できるはずですから、理由をはっきりさせて考えを進めるように努力してみてください。

「仮の平均を使った求め方が本当に正しいの?」と感じたら、納得できる理由を自分で考えてみてください。

その姿勢が、あなたを「論理的に考える人、閃く人」に近づけてくれます。社会に出ても「人を納得させられる人、アイデアが浮かぶ人」に近づけてくれます。「相手の話におかしいところがないか判断できる人」に近づけてくれます。

では、最後に「仮の平均を使う方法がなぜ正しいのか」を説明して、この単元のブログを終わります。

(興味や時間のない人は、ここから先は読まなくても結構です)

 


 

「仮の平均を使った求め方が正しい理由」

3本の棒を考えます。この3本の棒の平均の長さを求めることを考えましょう。

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

この3本の合計の長さは9+5+7=21 cm。

21 cm  =====================

この長さを3でわれば、3本の平均の長さが求められます。

21÷3=7

21 cm  ======= ======= =======

平均とは「合計してその個数で割った長さ」をいいます。9cm、5cm、7cm いろいろな長さがあるけど「まぁ、ならしてみると、1本7cmと見とけばいいんじゃない? 」といった感じの数(代表値といいます)です。

では、「仮の平均」を使ったやり方で考えてみます。

仮に、基準を4cm とすると(図の青の線です。基準は何cmにしてもかまいません)

9cm     =========

5cm     =====

7cm     =======

これを一直線に並べます。

21 cm  ======= ===== =========

これを、次のように並べ替えてみます。

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

このように並べてみると、

青の平均は12÷3=4

残りの平均が(3+1+5)÷3=9÷3=3

となるので、

平均=4+3=7 だとわかります。

21cm  ==== ==== ==== ===   ===   ===

21 cm  ====  ===   ====  ===  ====  ===

ここで、4は最初に決めた基準、3は「差の平均」つまり「仮の平均」になっているので、

平均=基準+仮の平均

で求めてよいことがわかります。


どうでしょう?

納得してもらえたでしょうか?

言葉だけでは納得できない人もいると思い、長さの図をいろいろ付け加えたので、じっくり見て考えてみてください。


また、話は違うのですが、

下の図を見ると

21cm  ==== ==== ==== ===   =   =====

3本の全体の長さ=基準×3+(差の合計)

という関係に気づきませんか?

このように、具体的に考えると別な性質も発見しやすくなります。


ちなみに、この説明を数式を使って説明することもできます。

平均=(9+5+7)/3

=(+5++1++3)/3

/3+5/3+/3+1/3+/3+3/3

/3+/3+/3+5/3+1/3+3/3

=()/3  +(5+1+3)/3

=12/3 + (5+1+3)/3

+ (5+1+3)/3

=基準 + 仮の平均


このように、最初に言葉や図で説明したことが、数式でも説明できるのです。

このことから「数学は言葉」といわれます。

理由をはっきりさせながら説明できる人は、式を使って説明することができるようになります。

式を使って説明できる人は、理由をはっきりさせながら説明することができるようになります。

そして、普通の人が見逃しやすい理由に気づく(閃く)ことができるようになります。

さて、この計算には 加法(減法)と除法(乗法)が使われています。ということは、当然、ここで行われている計算が正しい理由を知っていなければなりません。

その理由のひとつが、「分配法則は正しい」という知識です。

その理由のひとつが、「加法の交換法則、情報の交換法則」という知識です。

その理由のひとつが、「正の数・負の数の分数・小数は四則について閉じている」という知識です。

※冷静に自分がどんな理由(計算法則)で計算を進めているのかを見つめてみてください。他にもあるかもしれません・・・

これらの知識があるからこそ、9,5,7ではなく他の整数や分数・小数であっても「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

これらの知識があるからこそ、仮に基準を7とすると差には負の数が生じますが、このような場合でも「平均=基準+仮の平均」が成り立つだろうと予測し説明ができるのです。

そして、今は、9,5,7という「3つの数」を具体例として数式で説明しましたが、次の単元で学ぶ「文字式」を使って説明すると、その「3つの数」がどんな整数や分数・小数でも「平均=基準+仮の平均」が正しいと説明することができます。

理由は、「文字はすべての数字の代わりになる」と考えるからなのですが、文字を使った説明の簡単な例を一番下に付け加えておきます。

「文字式」自体はそれほど難しくありません。次の単元も頑張ってください。

では、「正の数・負の数」の単元は以上です。 \(^_^)/


◆ 参考~「証明」 ◆

「3つの数を考えたとき、平均=基準+仮の平均となることを証明しなさい。」

※証明:筋道立てて説明すること

「証明」

k,x,y,z を正の数・負の数の分数・小数とする。

kは仮の基準、

x,y,zを「仮の基準との差」とすると、

3つの数はそれぞれ、k+x,k+y,k+z、と表される。

これより、

平均={(+x)+(+y)+(+z)}/3

=(+x++y++z)/3

/3+x/3+/3+y/3+/3+z/3

/3+/3+/3+x/3+y/3+z/3

=()/3  +(x+y+z)/3

=3×/3 + (x+y+z)/3

+ (x+y+z)/3

よって、

平均=基準 + 仮の平均 となることがわかる。

証明終わり

※みなさんは、数字の個数は3つ以外に、2つでも、4つでも、5つでも、いくつでも正しいことは、わかるでしょう。そのことをまとめて証明する書き方はありますが、ここでは文字を使った説明文(数式)のイメージを持ってもらうことが目的なので、省略します。(^^)/

 

数学動画教材1115_01「テーマ:加減乗除の混じった計算が正確にできる」について

◆ はじめに ◆

中学校数学を学ぶ人が、動画教材を見てからノートにまとめるときに参考になるような内容を目指すとともに、教える人の目線でも参考になるように考えて記事を書いたつもりです。いずれも2πr(にーぱいあーる)の見解でしかないのですが、よかったら参考にしてください。

また、この動画教材を使った自分なりの勉強の仕方で迷っているときは、ブログ「動画教材を使った勉強の仕方」を参考にしてください。サイト内検索で探す場合は、カテゴリー「勉強の仕方」で検索するとすぐ見つかります。アーカイブ(月単位)ならば「2018 6月」で検索してください。

動画教材へのリンク 1115_01_加減乗除の混じった計算が正確にできる_説明_by_2πr(にーぱいあーる)

動画教材へのリンク 1115_01_加減乗除の混じった計算が正確にできる_練習問題_by_2πr(にーぱいあーる)

◆ 加減乗除の混じった計算とは ◆

加減乗除の混じった計算というとどんな式を想像しますか?

+-×÷の4つがみんな混じっている式を思い浮かべる人もいるでしょうが、実はそうではありません。

この動画教材であつかっている主な計算式を見てみると、

×40÷5  減乗除

×(-2)(-40)÷5  減乗除

×(-40)÷(-5)  減乗除

÷(-3)÷×405  減乗除

(-4)2乗 ÷{3(-5)}  減乗除

※2乗ということは(-4)×(-4)が含まれているから減除ではない。

84×1281×(-2)  加乗

81×{12+(-2)}  乗

となっており、加減乗除のうちのいくつかが混じっていればOKなのです。(加減乗除の記号つまり演算記号は赤太字にしてあります)

一番下の 81×{12+(-2)} は、カッコをひとつの数と考えるので、かけ算のみの式。つまり項がひとつの式なのですが、分配法則を使うと加乗除が混じっている式(すぐ上の式)になるので加減乗除の混じった計算に入れています。

別ないい方をすると、分配法則を逆に利用する計算があるので下2つの式はここのテーマで扱うことにしているということです。

ここらへんを整理してから、学ぶとよいと思います (^_-)v

 

◆ 大切なことは項の数 ◆

説明動画でも繰り返し触れていますが、加減乗除の混じった計算をするときに一番大切なことは「項の数がいくつなのかを判断できる」ことです。

ここがわかっていないと必ずミスをします。

説明動画を見る前でも、見た後でもかまいませんので、下の計算式の項の数をパッと見て判断してみてください。全部あっていればOKです。

そうでなければ、まだまだ修行が足りないということになります (^_^;)

では、いきます。

×40÷

×(-2)(-40)÷

×(-40)÷(-5)

÷(-3)÷×40

(-4)2乗 ÷{3(-5)}

84×1281×(-2)

81×{12+(-2)}

では、答えです。

項と項の間を離してあります。

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